Matematica jocurilor de noroc

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Matematica jocurilor de noroc este o colecție de aplicații probabilistice specifice jocurilor de noroc și aparține matematicii aplicate. Din punct de vedere matematic, jocurile de noroc sunt experimente care generează diverse tipuri de evenimente aleatoare, a căror probabilitate poate fi calculată folosind proprietățile probabilității pe un câmp finit de evenimente.

Experimente, evenimente, campuri de probabilitate[modificare | modificare sursă]

Procesele tehnice ale unui joc reprezintă experimente care generează evenimente aleatoare. Iată câteva exemple:

  • Aruncarea zarurilor în jocul de craps este un experiment care generează evenimente precum apariția anumitor numere, obținerea unei anumite sume a numerelor apărute, apariția unui număr cu anumite proprietăți (mai mic decât un anumit număr, mai mare decât un anumit număr, par, impar, etc.). Mulțimea rezultatelor posibile atașata unui astfel de experiment este {1, 2, 3, 4, 5, 6} pentru aruncarea unui zar sau {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), ..., (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)} pentru aruncarea a doua zaruri. Ultima este o mulțime de perechi ordonate și are 6 x 6 = 36 elemente. Evenimentele pot fi identificate cu mulțimile, anume parți ale mulțimii rezultatelor posibile. Spre exemplu, evenimentul apariția unui număr par în experimentul de aruncare a zarului este reprezentat de mulțimea {2, 4, 6}.
  • Învartirea roții unei rulete este un experiment ale cărui evenimente generate pot fi apariția unui anumit număr, a unei anumite culori sau a unei anumite proprietăți a numerelor (mic, mare, par, impar, dintr-o anumită coloană, etc.). Mulțimea rezultatelor posibile atașată experimentului de învârtire a roții ruletei este mulțimea numerelor afișate pe ruleta: {1, 2, 3, ..., 36, 0, 00} pentru ruleta americană sau {1, 2, 3, ..., 36, 0} pentru ruleta europeană. Acestea sunt numerele înscrise pe roata ruletei și pe masa de joc. Evenimentul apariția unui număr roșu este reprezentat de mulțimea {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}.
  • Împărțirea cărților la blackjack de către crupier este un experiment care generează evenimente ca apariția unei anumite cărți sau unei anumite valori pentru prima carte primită, obținerea unui anumit total valoric din primele doua cărți primite, depășirea a 21 de puncte din primele trei cărți primite, etc. În jocurile de cărți întâlnim multe tipuri de experimente și categorii de evenimente. Fiecare tip de experiment are propria sa multime a rezultatelor posibile. Spre exemplu, experimentul de distribuire a primei cărți primului jucător are drept mulțime a rezultatelor posibile toată mulțimea celor 52 de cărți (sau 104, daca se folosesc două pachete). Experimentul de distribuire a celei de-a doua cărți primului jucător are drept mulțime a rezultatelor posibile mulțimea tuturor celor 52 de cărți (sau 104), mai puțin prima carte distribuită. Experimentul de distribuire a primelor două cărți primului jucător are drept mulțime a rezultatelor posibile o mulțime de perechi ordonate, anume toate aranjamentele de 2 cărți din cele 52 (sau 104).

Într-un joc de blackjack cu un singur jucător, evenimentul jucătorul primește o carte de 10 puncte drept prima carte este reprezentată de mulțimea de cărți {10♠, 10♣, 10♥, 10♦, J♠, J♣, J♥, J♦, Q♠, Q♣, Q♥, Q♦, K♠, K♣, K♥, K♦}. Evenimentul jucătorul obține un total de cinci puncte din primele două cărți primite este reprezentat de mulțimea {(A, 4), (2, 3)} de combinații a câte două elemente din mulțimea valorilor cărților, care de fapt numără 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinații de cărți (ca valoare și simbol).

  • La loteria 6/49, experimentul de extragere a 6 numere din cele 49 generează evenimente precum apariția a șase numere date, apariția a cinci din șase numere date, apariția a cel puțin unui număr dintr-un grup de numere dat, etc. În acest experiment, mulțimea rezultatelor posibile este mulțimea tuturor combinațiilor de 6 numere din cele 49.
  • În pokerul clasic, experimentul de distribuire a mâinilor inițiale de cinci cărți generează evenimente ca: distribuția unei anumite valori unui anumit jucător, distribuția unei perechi la cel puțin doi jucători, distribuția a patru cărți cu simboluri identice cel puțin unui jucător, etc. În acest caz, mulțimea rezultatelor posibile este mulțimea tuturor combinațiilor de 5 cărți din cele ale pachetului folosit. Distribuirea a doua cărți noi unui jucător care a decartat două cărti este un alt experiment, a cărui mulțime a rezultatelor posibile este acum mulțimea tuturor combinațiilor de 2 cărți din cele ale pachetului, mai puțin cărțile văzute de observatorul care rezolvă problema probabilității.

De exemplu, dacă vă aflați într-un joc cu 52 de cărți în situația de mai sus și vreți să calculați probabilități privind mâna dvs., mulțimea rezultatelor posibile la care trebuie să vă raportați este mulțimea tuturor combinațiilor de 2 cărți din cele 52, fără cele 3 cărți pe care le aveți în mână și fără cele 2 cărți decartate. Astfel, această mulțime a rezultatelor posibile numără toate combinațiile de 2 cărți din 47 (combinari de 47 luate câte 2).

Modelul probabilistic[modificare | modificare sursă]

Un model probabilistic se bazeaza pe un experiment si o structura matematica atasata acelui experiment, anume campul de evenimente. Evenimentul este unitatea structurala cu care lucreaza teoria probabilitatilor. In jocurile de noroc exista multe categorii de evenimente si toate pot fi predefinite textual. In exemplele anterioare de experimente din domeniul jocurilor de noroc, am luat cunostintă cu cateva evenimente pe care aceste experimente le genereaza. Ele reprezinta o parte infima a multimii tuturor evenimentelor, care de fapt este multimea partilor multimii rezultatelor posibile. Pentru un joc specific, evenimentele pot fi de diverse tipuri: – evenimente privind propriul joc sau jocul adversarilor; – evenimente privind jocul unei singure persoane sau al mai multor persoane; – evenimente imediate sau evenimente cu bataie lunga. Fiecare categorie poate fi divizata mai departe in multe alte subcategorii, in functie de jocul la care se refera. Din punct de vedere matematic, aceste evenimente nu sunt altceva decat submultimi, iar campul de evenimente este o algebra Boole. Intre aceste evenimente, gasim evenimente elementare si compuse, compatibile si incompatibile, independente si ne-independente.

  • In experimentul de aruncare a zarului:


– Evenimentul {3, 5} (a carui definitie textuala este aparitia lui 3 sau 5) este compus, deoarece {3, 5}= {3} U {5};
– Evenimentele {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sunt elementare;
– Evenimentele {3, 5} și {4} sunt incompatibile sau exclusive deoarece nu se pot produce simultan;
– Evenimentele {1, 2, 5} si {2, 5} sunt compatibile, deoarece intersectia lor nu este vida;

  • In experimentul de aruncare a doua zaruri unul dupa altul, evenimentele aparitia lui 3 pe primul zar si aparitia lui 5 pe al doilea zar sunt independente, deoarece producerea primului nu depinde de producerea celui de-al doilea si invers.
  • In experimentul de distribuire a celor doua carti individuale in Texas Hold’em Poker:


– Evenimentul de distribuire a cartilor (3♣, 3♦) unui jucator este un eveniment elementar;
– Evenimentul de distribuire a doua carti de valoare 3 unui jucator este compus, deoarece este reuniunea evenimentelor (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) si (3♥, 3♦);
– Evenimentele jucatorul 1 primește o pereche de popi si jucătorul 2 primeste o pereche de popi sunt compatibile (se pot produce simultan);
– Evenimentele jucătorul 1 primeste doi conectori de cupa mai mari ca J si jucatorul 2 primeste doi conectori de cupa mai mari ca J sunt incompatibile (numai unul se poate produce);
– Evenimentele jucatorul 1 primeste (7, K) si
jucatorul 2 primește (4, Q) nu sunt independente (producerea celui de-al doilea depinde de producerea primului). Acestea sunt doar cateva exemple de evenimente de joc, ale caror proprietati de compunere, compatibilitate si independentă sunt ușor observabile. Aceste proprietati sunt foarte importante in calculul probabilistic practic.

Modelul matematic complet este dat de campul de probabilitate atasat experimentului, care este tripletul multimea rezultatelor posibile – campul de evenimente – functia probabilitate. Pentru orice joc de noroc, modelul probabilistic este de tipul cel mai simplu – multimea rezultatelor posibile este finita, campul de evenimente este multimea partilor multimii rezultatelor posibile, fiind implicit finita, iar funcaia probabilitate este data de definitia probabilitatii pe un camp finit de evenimente.

Combinatii[modificare | modificare sursă]

Jocurile de noroc sunt si un domeniu bun de exemplificare pentru combinatii, permutari si aranjamente, care sunt intalnite la tot pasul: combinatii de carti in mana unui jucator, pe masa sau asteptate; combinatii de numere la aruncarea simultana a mai multor zaruri; combinatii de numere la loto sau bingo; combinatii de simboluri la sloturi; permutari si aranjamente in cursele pariurilor sportive si asa mai departe. Calculul combinatoric este o parte importanta a aplicatiilor probabilistice in jocurile de noroc. In aceste jocuri, majoritatea calculelor probabilistice care folosesc definitia clasica a probabilitatii revin la numararea de combinatii.

Spre exemplu, intr-un joc de poker clasic, evenimentul cel putin un jucător are un careu poate fi identificat cu multimea tuturor combinatiilor de tipul (xxxxy), unde x si y sunt valori distincte de carti. Aceasta multime are 13C(4,4)(52-4)=624 de combinatii, astfel ca este prea mare pentru a putea fi desfasurata aici. Combinatii posibile sunt (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) sau (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Acestea pot fi identificate cu evenimente elementare dintre cele care formeaza evenimentul de masurat.

Strategie si speranta matematica[modificare | modificare sursă]

Jocurile de noroc nu reprezinta numai o baza a aplicatiilor pure de calcul probabilistic, iar situatiile de joc nu sunt numai evenimente izolate a caror probabilitate numerica este stabilita prin metode matematice – ele sunt de asemenea jocuri a caror desfasurare este influentată de actiunile umane. In jocurile de noroc, elementul uman are un caracter hotarator. Jucatorul nu este interesat numai de probabilitatile matematice ale diferitelor evenimente de joc, ci are si asteptari legate de rezultatele jocului, atata timp cat exista o interactiune permanenta intre joc si jucator. Pentru a obtine rezultate favorabile in urma acestei interactiuni, jucatorii iau in calcul toate informatiile posibile, inclusiv statistice, pentru a elabora strategii de joc. Atata timp cat oamenii apeleaza la rezultate statistice trecute pentru a obtine o probabilitate subiectiva drept grad de incredere, exista si procesul psihologic invers – predictia rezultatelor statistice viitoare bazate pe o probabilitate data. Un astfel de comportament predictiv se manifesta din plin in jocurile de noroc, unde probabilitatile sunt asociate cu mizele puse in joc, cu scopul de a prevedea castiguri sau pierderi medii in viitor. Un astfel de castig sau pierdere prevazute pe baza probabilitatilor se numeste speranta matematica sau valoare medie si este suma produselor dintre probabilitatea fiecarui rezultat posibil si castigul sau specific. Astfel, speranta matematica reprezinta suma medie pe care un jucator se asteapta sa o castige pentru un anumit pariu repetat de mai multe ori. Un joc sau o situatie de joc in care speranta matematica pentru jucator este zero (nu exista castig, nici pierdere neta) este numit joc corect. Atributul corect nu se refera aici la procesele tehnice ale jocului, ci la balanta sanselor dintre casa si jucator.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • The Mathematics of Gambling , de Edward Thorp, ISBN 0-89746-019-7 versiune online
  • GHIDUL PROBABILITATILOR SI MATEMATICA JOCURILOR DE NOROC: Zaruri, Sloturi, Ruleta, Baccara, Blackjack, Poker, Loto si Pariuri sportive, de Catalin Barboianu, ISBN 978-973-1991-02-3 pasaje
  • Probabilitățile pentru strategia jocului de Texas Hold’em Poker, cu analize probabilistice ale mâinilor, de Catalin Barboianu, ISBN 978-973-1991-35-1 pasaje
  • The Theory of Gambling and Statistical Logic, Revised Edition, by Richard Epstein, ISBN 0-12-240761-X
  • The Mathematics of Games and Gambling, Second Edition, by Edward Packel, ISBN 0-88385-646-8
  • Luck, Logic, and White Lies: The Mathematics of Games, by Jörg Bewersdorff, ISBN 1-56881-210-8

Legături externe[modificare | modificare sursă]