Aranjament

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Aranjamente)
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, numărul de arajamente (fără repetiție) a n   (n \in \mathbb N^ \!)   elemente luate câte k   (k \in \mathbb N^ \quad{,}\quad \; k \le n \!)   se notează cu A_n^k \! și se calculează cu formula:

A_n^k = n(n-1) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}. \!

În practică, de multe ori se ajunge la necesitatea de a alege dintr-o mulțime oarecare de obiecte submulțimi care au anumite proprietăți sau de a aranja elementele unei mulțimi într-o numită ordine. Domeniul matematicii care studiază astfel de probleme se numește combinatorică și are importanță pentru teoria probabilităților, logica matematică, teoria numerelor, precum și pentru alte ramuri ale științei și tehnicii. Din această ramură a matematicii fac parte și aranjamentele.

Definiție: Daca  A este o mulțime cu  n elemente, atunci submulțimile ordonate ale lui  A , având fiecare câte  k elemente, unde  0 \le \ k \le \ n , se numesc aranjamente de  n elemente luate câte  k .

Numărul aranjamentelor de  n elemente luate câte  k se notează  A_n^k și se citește: "aranjamente de  n luate câte  k ".

Exemplu: Fie mulțimea  A=\{a,b,c,d,e\} . Se pot construi 20 mulțimi ordonate, având câte două elemente fiecare:

(a,b), (a,c), (a,d), (a,e)

(b,a), (b,c), (b,d), (b,e)

(c,a), (c,b), (c,d), (c,e)

(d,a), (d,b), (d,c), (d,e)

(e,a), (e,b), (e,c), (e,d)

Din exemplul de mai sus avem:  A_5^2 = 20

Formula pentru calculul numărului  A_n^k este următoarea:

 A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

Pentru  n=k avem  A_n^k = 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot k = k!

Formule uzuale:

Pentru  \forall \ n \in N^*, k \in N, n \ge\ k

1. Formula de recurență:

 A_n^k =(n-k+1)\cdot  A_n^{k-1}

2. Formula factorială a aranjamentelor:

 A_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}

Proprietăți:

 A_n^n = 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n = n!

 A_n^0 = 1

 A_n^{n-1} = A_n^n

Vezi și[modificare | modificare sursă]