Funcţie pătratică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

$f(x) = x^2 - x - 2\,\!$

O funcţie pătratică, în matematică, este o funcţie polinomială de forma $f(x)=ax^2+bx+c \,\!$ , unde $a \ne 0 \,\!$ . Graficul unei funcţii pătratice este de forma unei parabole ale cărei axe majore sunt paralele cu axa y.

Expresia $a x 2 + b x + c$ din definiţia unei funcţii pătratice, este un polinom de grad 2 sau funcţie polinomială de grad 2, pentru că cel mai mare exponent al variabilei $x$ este 2.

Dacă se pune condiţia ca funcţia pătratică să fie egală cu zero, atunci va rezulta o ecuaţie pătratică. Soluţiile acestei ecuaţii sunt numite rădăcini pătrate ale ecuaţiei, sau puncte de nul ale funcţiei.

[modifică] Originea cuvântului

Adjectivul pătratic vine de la latinescul quadratum care înseamnă pătrat. Termenii de forma x² sunt numiţi pătraţi în algebră, pentru că reprezintă suprafaţa unui pătrat cu latura x.

În general, prefix quadr(i)- se referă la numărul 4. Printre exemple se pot enumera quadrilater şi cadan. Quadratum este latinescul pentru pătrat, pentru că pătratul are 4 laturi.

[modifică] Rădăcini

Cele două rădăcini ale ecuaţiei pătratice $0=ax^2+bx+c\,\!$ , în care $a \ne 0 \,\!$ sunt:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

Fie $\Delta = b^2-4ac \,$
Dacă $\Delta > 0\,\!$ , atunci există două rădăcini distincte pentru că $\sqrt{\Delta}$ este un număr real pozitiv.
Dacă $\Delta = 0\,\!$ , atunci cele două rădăcini sunt egale, pentru că $\sqrt{\Delta}$ este zero.
Dacă $\Delta < 0\,\!$ , atunci cele două rădăcini sunt conjugate complexe, pentru că $\sqrt{\Delta}$ este un număr imaginar.

Considerând $r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ şi $r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ sau invers, se poate da factor comun $a x^2 + b x + c \,\!$ sub forma $a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ .