Formă pătratică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Forma pătratică este un polinom omogen de gradul doi într-un număr de variabile. De exemplu

4x^2 + 2xy - 3y^2\,\!

este o formă pătratică în variabilele \scriptstyle x și \scriptstyle y.

Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria și topologia diferențială, teoria numerelor etc.

În cazul general, o formă pătratică este un polinom omogen de gradul al doilea cu variabilele  x_1, x_2, \cdots, x_n:

 f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11} \cdot x_1^2 + a_{22} \cdot x_2^2 + \cdots + a_{nn} \cdot x_n^2 + 2 a_{12} x_1 \cdot x_2 + \cdots + 2a_{n n-1} \cdot x_{n n-1}.

Matricea simetrică  \begin{pmatrix} a_{ij}  \end{pmatrix}_n se numește matricea atașată formei pătratice  f(x_1, x_2, \cdots, x_n).

Formele pătratice au numeroase aplicații în analiză matematică, geometrie și mecanică. Studiul formelor binare (cu două nedeterminate) a fost introdus de Lagrange în 1767, iar Dirichlet în 1842 a dezvoltat formele binare pătratice.

O formă pătratică cu  a_{ij}=0, pentru  i \neq j, se numește formă canonică. Matricea atașată unei forme canonice este o matrice diagonală.

Vezi și[modificare | modificare sursă]