Treapta unitate Heaviside

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Funcţia treaptă Heaviside

Funcția treaptă Heaviside, u, numită și funcția treaptă unitate, este o funcție discontinuă ale cărei valori sunt zero pentru argumente negative și unu pentru argumente pozitive. Rareori contează ce valoare este folosită pentru u(0), deoarece este folosită mai ales ca distribuție.

Funcția este folosită în matematica teoriei controlului și a prelucrării semnalelor pentru a reprezenta un semnal care este pornit la un moment dat și rămâne pornit pe termen nedefinit. A fost denumit în cinstea matematicianului englez Oliver Heaviside.

Este funcția de distribuție cumulativă a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0.

Funcția Heaviside este o primitivă a funcției impulsul Dirac: u′ = δ. Aceasta se scrie uneori ca

deși această dezvoltare ar putea să nu aibă sens pentru x = 0, în funcție de ce formalism se folosește pentru a da sens integralelor ce implică δ.

Forma discretă[modificare | modificare sursă]

Se poate defini o formă alternativă a treptei unitate ca funcție de o variabilă discretă n:

unde n este număr întreg.

Impulsul unitate în timp discret este prima diferență a treptei unitate

Această funcție este suma cumulativă a funcției delta Kronecker:

unde

este funcția impuls unitar discret.

Aproximări analitice[modificare | modificare sursă]

Pentru o aproximare derivabilă a funcției treaptă, se poate folosi funcția

,

unde un k mai mare corespunde unei tranziții mai bruște la x = 0. Dacă se ia u(0) = ½, egalitatea este valabilă la limită:

Există multe aproximări derivabile analitice ale funcției treaptă[1]. Acestea includ:

În timp ce aceste aproximări converg punctual spre funcția treaptă, distribuțiile pe care le implică nu converg strict către distribuția delta. În particular, mulțimea măsurabilă

are măsura zero în distribuția delta, dar sub fiecare aproximare derivabilă devine mai mare cu cât este crescut k.

Reprezentări[modificare | modificare sursă]

Adesea este utilă o reprezentare integrală a treptei unitate Heaviside:

u(0)[modificare | modificare sursă]

Valoarea funcției în 0 poate fi definită ca , sau . este alegerea cea mai populară, deoarece maximizează simetria funcției și devine complet consistentă cu funcția signum. Astfel se generalizează definiția:

Pentru a elimina ambiguitatea asupra valorii de folosit pentru u(0), se folosește un indice care arată ce valoare se folosește:

Primitiva și derivata[modificare | modificare sursă]

Funcția rampă este o primitivă a funcției treaptă Heaviside:

Derivata funcției treaptă Heaviside este impulsul Dirac:

Transformata Fourier[modificare | modificare sursă]

Transformata Fourier a funcției treaptă Heaviside este o distribuție. Folosind o variantă de constante pentru definiția transformatei Fourier avem

Aici termenul trebuie interpretat ca o distribuție care primește o funcție de test valoarea principală Cauchy pentru .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Weisstein, Eric W.. „Heaviside step function”. Mathworld - a Wolfram web resource. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html. Accesat la 17 martie 2008.