De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În algebra liniară , teorema lui Laplace constituie o modalitate de a calcula determinantul unei matrice .
Enunțul acesteia este următorul:
Se consideră matricea pătrată
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
n linii și n coloane.
Atunci determinantul
D
=
d
e
t
(
a
i
j
)
{\displaystyle D=det(a_{ij})}
minorilor de pe r linii, fixate prin complementele lor algebrice .
Este atribuită omului de știință Pierre-Simon Laplace .
Pentru calculul determinantului:
D
5
=
|
1
0
0
0
2
0
1
0
0
3
x
0
1
0
4
x
x
0
1
5
x
x
x
0
6
|
{\displaystyle D_{5}={\begin{vmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\\x&0&1&0&4\\x&x&0&1&5\\x&x&x&0&6\end{vmatrix}}}
acesta se va dezvolta după primele două linii.
Minorii acestor linii sunt în număr de
C
5
2
=
10
,
{\displaystyle C_{5}^{2}=10,}
M
12
=
|
1
0
0
1
|
=
1
,
M
15
=
|
1
2
0
3
|
=
3
,
M
25
=
|
0
2
1
3
|
=
−
2.
{\displaystyle M_{12}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1,\;M_{15}={\begin{vmatrix}1&2\\0&3\end{vmatrix}}=3,\;M_{25}={\begin{vmatrix}0&2\\1&3\end{vmatrix}}=-2.}
Complemenții algebrici ai acestora sunt:
M
12
′
=
(
−
1
)
6
|
1
0
4
0
1
5
x
0
6
|
=
6
−
4
x
,
M
15
′
=
(
−
1
)
9
|
0
1
0
x
0
1
x
x
0
|
=
−
x
,
M
25
′
=
(
−
1
)
10
|
x
1
0
x
0
1
x
x
0
|
=
x
−
x
2
.
{\displaystyle M'_{12}=(-1)^{6}{\begin{vmatrix}1&0&4\\0&1&5\\x&0&6\end{vmatrix}}=6-4x,\;M'_{15}=(-1)^{9}{\begin{vmatrix}0&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=-x,\;M'_{25}=(-1)^{10}{\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=x-x^{2}.}
Așadar:
D
5
=
1
⋅
(
6
−
4
x
)
+
3
⋅
(
−
x
)
+
(
−
2
)
⋅
(
x
−
x
2
)
=
2
x
2
−
9
x
+
6.
{\displaystyle D_{5}=1\cdot (6-4x)+3\cdot (-x)+(-2)\cdot (x-x^{2})=2x^{2}-9x+6.}
O altă teoremă atribuită lui Laplace este următoarea:[1]
