Teorema lui Laplace (algebră)

În algebra liniară, teorema lui Laplace constituie o modalitate de a calcula determinantul unei matrici. Enunțul acesteia este următorul: Se consideră matricea pătrată $A=(a_{ij})$ formată din n linii și n coloane. Atunci determinantul $D=det(a_{ij})$ este egal cu suma produselor minorilor de pe r linii, fixate prin complemenții lor algebrici.

Este atribuită omului de știință Pierre-Simon Laplace.

Exemplu

Pentru calculul determinantului:

$D_{5}={\begin{vmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\\x&0&1&0&4\\x&x&0&1&5\\x&x&x&0&6\end{vmatrix}}$

acesta se va dezvolta după primele două linii. Minorii acestor linii sunt în număr de $C_{5}^{2}=10,$ dar se vor considera doar cei nenuli și anume:

$M_{12}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1,\;M_{15}={\begin{vmatrix}1&2\\0&3\end{vmatrix}}=3,\;M_{25}={\begin{vmatrix}0&2\\1&3\end{vmatrix}}=-2.$

Complemenții algebrici ai acestora sunt:

$M'_{12}=(-1)^{6}{\begin{vmatrix}1&0&4\\0&1&5\\x&0&6\end{vmatrix}}=6-4x,\;M'_{15}=(-1)^{9}{\begin{vmatrix}0&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=-x,\;M'_{25}=(-1)^{10}{\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=x-x^{2}.$

Așadar:

$D_{5}=1\cdot (6-4x)+3\cdot (-x)+(-2)\cdot (x-x^{2})=2x^{2}-9x+6.$

Teorema a doua a lui Laplace

O altă teoremă atribuită lui Laplace este următoarea: Suma produselor elementelor unei linii sau unei coloane ale unui determinant prin complemenții algebrici corespunzători ai altei linii, respectiv coloane, este zero.

Vezi și

• Transformată Laplace