Spațiu măsurabil

Nu confundați cu Spațiu cu măsură.

În matematică, un spațiu măsurabil sau spațiu Borel^[1] este un obiect de bază în teoria măsurii. Este format dintr-o mulțime și o σ-algebră, care definește submulțimile ce vor fi măsurate.

Captează și generalizează noțiuni intuitive precum lungimea, aria și volumul cu o mulțime $X$ de „puncte” în spațiu, însă regiunile spațiului sunt elementele σ-algebrei, deoarece măsurile intuitive nu sunt de obicei definite pentru puncte. Algebra surprinde, de asemenea, relațiile care ar putea fi așteptate de la regiuni: că o regiune poate fi definită ca o intersecție a altor regiuni, o reuniune a altor regiuni, sau spațiul cu excepția unei alte regiuni.

Definiție

Se consideră o mulțime $X$ și o σ-algebră ${\mathcal {F}}$ pe $X.$ Atunci perechea $(X,{\mathcal {F}})$ se numește spațiu măsurabil.^[2]

De remarcat că, spre deosebire de un spațiu cu măsură, nu este necesară nicio măsură pentru un spațiu măsurabil.

Exemplu

Fie mulțimea $X=\{1,2,3\}.$ O posibilă $\sigma$ -algebră ar fi: ${\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.$ Atunci $\left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)$ este un spațiu măsurabil. O altă $\sigma$ -algebră posibilă ar fi mulțimea părților lui $X$ : ${\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).$ Cu aceasta, un al doilea spațiu măsurabil pe mulțimea $X$ este dat de $\left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).$

Spații măsurabile uzuale

Dacă $X$ este mulțime finită sau infinit numărabilă, $\sigma$ -algebra este cel mai adesea mulțimea părților lui $X,$ deci ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil $(X,{\mathcal {P}}(X)).$

Dacă $X$ este un spațiu topologic, $\sigma$ -algebra este cel mai adesea $\sigma$ -algebra Borel ${\mathcal {B}},$ deci ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil $(X,{\mathcal {B}}(X))$ care este comun pentru toate spațiile topologice, cum ar fi numerele reale $\mathbb {R} .$

Ambiguitate cu spațiile Borel

Termenul de spațiu Borel este folosit pentru diferite tipuri de spații măsurabile. Se poate referi la

orice spațiu măsurabil, deci este un sinonim pentru un spațiu măsurabil așa cum este definit mai sus^[1]
un spațiu măsurabil care este Borel izomorf cu o submulțime măsurabilă a numerelor reale (din nou cu $\sigma$ -algebra Borel)^[3]

Note

^ ^a ^b Sazonov, V.V. (2001), „Measurable space”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. p. 15. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

Vezi și

Mulțime Borel – Clasă de mulțimi matematice
Funcție măsurabilă – Funcție pentru care preimaginea unei mulțimi măsurabile este măsurabilă
Măsură – Generalizarea masei, lungimii, ariei și volumului
Spațiu Borel standard – Construcție matematică în topologie
Categorie de spații măsurabile

[eommeasurablespace-1] Sazonov, V.V. (2001), „Measurable space”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[Klenke18-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg15-3] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. p. 15. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]

[2]

[3]