Singularitate esențială
În analiza complexă o singularitate esențială a unei funcții este o singularitate „severă” lângă care funcția se comportă ciudat.
Categoria singularitate esențială este un „rest” sau un grup implicit de singularități izolate care sunt expres de negestionat: prin definiție, nu se încadrează în niciuna dintre celelalte două categorii de singularitate care pot fi tratate în vreun fel — singularități eliminabile și poli. În practică, unii includ între acestea și anumite singularități neizolate: acelea nu au un reziduu(d).
Descriere formală
[modificare | modificare sursă]Fie o mulțime deschisă din planul complex . Fie un element al și o funcție olomorfă. Punctul se numește singularitate esențială a funcției dacă singularitatea nu este nici un pol, nici o singularitate eliminabilă.
De exemplu, funcția are o singularitate esențială în .
Descriere alternativă
[modificare | modificare sursă]Fie un număr complex și se presupune că nu este definită în , dar este analitică într-o regiune a planului complex și că fiecare vecinătate deschisă a lui are intersecția cu nevidă.
- Dacă atât cât și există, atunci este o singularitate eliminabilă atât a , cât și a .
- Dacă există dar nu există (în realitate ), atunci este un zero al și un pol al .
- Similar, dacă nu există (în realitate ) dar există, atunci este un pol al și un zero al .
- Dacă nici , nici nu există, atunci este o singularitate esențială a ambelor și .
O altă modalitate de a caracteriza o singularitate esențială este aceea că seria Laurent(d) a lui la punctul are o infinitate de termeni de grad negativ (adică, partea principală din seria Laurent este o sumă infinită). O definiție înrudită este aceea că, dacă există un punct pentru care nicio derivată a lui nu converge către o limită când tinde spre , atunci este o singularitate esențială a lui .[1]
Pe sfera Riemann (care are un punct de la infinit), , funcția are o singularitate esențială în acel punct dacă și numai dacă are o singularitate esențială în 0: adică nu există nici , nici .[2] Funcția zeta Riemann pe sfera Riemann are o singură singularitate esențială, la .[3]
Comportarea funcțiilor olomorfe în apropierea singularităților lor esențiale este descrisă de teorema Casorati–Weierstrass și de marea teoremă a lui Picard(d), considerabil mai puternică. Acesta din urmă spune că în orice vecinătate a unei singularități esențiale, , funcția ia orice valoare complexă, cu excepția posibilei uneia, de un număr infinit de ori. (Excepția este necesară; de exemplu, funcția nu are niciodată valoarea 0.)
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ en Weisstein, Eric W. „Essential Singularity”. MathWorld. Wolfram. Accesat în .
- ^ en „Infinity as an Isolated Singularity” (PDF). Accesat în .
- ^ en Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (). „Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines”. Computational Methods and Function Theory (în engleză). 20 (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x . ISSN 2195-3724.
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- en Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
- en Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN: 1-84265-185-4
Legături externe
[modificare | modificare sursă]- en An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.