Nedeterminare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, mai precis în analiza reală, o nedeterminare este o operație imposibilă de efectuat care apare în determinarea unei limite.

Spre exemplu, dacă și , atunci este o nedeterminare de tip 0 / 0. Cuvântul „nedeterminare” se referă faptului că, operația respectivă nefiind definită, simplul fapt că și nu este suficient pentru a determina valoarea limitei , sau chiar dacă această limită există. Acest exemplu este detaliat mai jos.

Nu toate operațiile imposibile de efectuat care apar în determinarea unei limite sunt nedeterminări. De pildă, chiar dacă împărțirea cu zero nu este definită în cadrul algebrei numelor reale, operația a / 0 nu este considerată o nedeterminare când a ≠ 0, pentru că determinarea limitei corespunzătoare este ușoară. Există șapte tipuri de nedeterminări:

și

Faptul de a determina existența și valoarea unei limite sub formă nedeterminată se numește ridicarea nedeterminării. Exisță diverse metode și teoreme pentru a ridica o nedeterminare, precum regula lui l'Hôpital.

Exemplu introductiv: nedeterminarea 0 / 0[modificare | modificare sursă]

Fie f și g două funcții astfel încât . În general, este o nedeterminare, pentru că, chiar dacă există, limita poate lua orice valoare. De exemplu:

  • și
  • și
  • și

De fapt, se poate și să nu existe limita:

  • și nu există, pentru că
  • și nu există, pentru că oscilează între și în vecinătatea lui .

Dacă dar , limita nu este considerată o nedeterminare, pentru că valoarea limitei depinde numai de semnul lui a și semnul lui g în vecinitatea lui 0. Spre exemplu, dacă există astfel încăt pentru orice cu :

  • .

Și dacă pentru orice cu :

  • .

Însă, dacă semnul lui g nu este constant în vecinitatea lui 0, limita nu există.

Clasificarea nedeterminărilor[modificare | modificare sursă]

Tabelul următor detailează șaptele tipuri de nedeterminări. Aici, .

Nedeterminarea Limita dorită Limita lui Limita lui

Expresii ca sau nu sunt nedeterminări, chiar dacă nu sunt definite în cadrul algebrei numelor reale.

Chiar dacă există șapte tipuri de nedeterminări, în realitate toate sunt echivalente, în sensul că există operații care transformă un tip de nedeterminare într-un alt. De exemplu, dacă este de tip , atunci , care este de tip 0 / 0. În mod asemănător, dacă și este de tip , atunci și, prin continuitatea funcții exponențiale, , cu de tip .

Vezi și[modificare | modificare sursă]