Matricea coeficienților
În algebra liniară matricea coeficienților este o matrice ale cărei elemente sunt coeficienții variabilelor dintr-un set de ecuații liniare. Matricea este utilizată în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Matricea coeficienților
[modificare | modificare sursă]În general, un sistem de m ecuații liniare și n necunoscute are forma
unde sunt necunoscutele, iar sunt coeficienții sistemului. Matricea coeficienților este matricea m × n cu coeficientul în poziția :[1]
Astfel, setul de ecuații de mai sus poate fi exprimat mai succint ca
unde A este matricea coeficienților, iar b este vectorul coloană de termeni liberi (constanți).
Relația proprietăților sale cu proprietățile sistemului de ecuații
[modificare | modificare sursă]Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul de ecuații este incompatibil (nu are soluții) dacă rangul matricei extinse este mai mare decât rangul matricei coeficienților. Dacă, pe de altă parte, rangurile acestor două matrici sunt egale, sistemul trebuie să aibă cel puțin o soluție. Sistemul este compatibil determinat și soluția este unică dacă și numai dacă rangul este egal cu numărul de variabile. Dacă rangul este mai mic decât numărul de variabile sistemul este compatibil nedeterminat, iar soluția generală are k parametri liberi, unde k este diferența dintre numărul de variabile și rang; deci într-un astfel de caz există o infinitate de soluții,[2] una particulară obținându-se impunând valori la k necunoscute.
Ecuații dinamice
[modificare | modificare sursă]O ecuație matricială cu diferențe de ordinul întâi cu termen constant poate fi scrisă ca
unde A este n × n, iar y și c sunt n × 1. Acest sistem converge la nivelul staționar al lui y dacă și numai dacă valoarea absolută a tuturor celor n valori proprii ale lui A sunt mai mici decât 1.
O ecuație diferențială matricială de ordinul întâi cu termen constant poate fi scrisă ca
Acest sistem este stabil dacă și numai dacă toate cele n valori proprii ale lui A au părți reale negative.
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ en Liebler, Robert A. (decembrie 2002). Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications. CRC Press. pp. 7–8. ISBN 9781584883333. Accesat în .
- ^ Simion-Sorin Breaz, Sisteme de ecuații liniare, Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2022-02-19