Interpretarea geometrică a integralei Riemann În analiza matematică , integrala Riemann constituie prima definiție riguroasă a integralei unei funcții pe un interval .
A fost formulată de Bernhard Riemann și se poate aplica pentru funcții continue sau funcții regulate .
Fie
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
≤
b
.
{\displaystyle a\leq b.}
d
:
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
,
{\displaystyle d:(x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}
a
=
x
0
≤
x
1
≤
x
2
≤
⋯
≤
x
i
≤
x
i
+
1
≤
⋯
≤
x
n
−
1
≤
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{i}\leq x_{i+1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b}
se numește diviziune a intervalului
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
d .
Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni
d
:
(
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
i
,
x
i
+
1
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle d:\;(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{i},x_{i+1},\cdots ,x_{n})}
norma diviziunii d și se notează:
ν
(
d
)
=
max
0
≤
i
≤
n
−
1
(
x
i
+
1
−
x
i
)
.
{\displaystyle \nu (d)=\max _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i}).}
Se spune că funcția f este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
d
n
)
{\displaystyle (d_{n})}
ξ
i
,
{\displaystyle \xi _{i},}
(
σ
d
n
)
{\displaystyle (\sigma _{d_{n}})}
I .
Numărul I se numește integrala funcției f pe intervalul
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx.}
Notația
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
a la b din f(x)dx".
1
∘
.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle 1^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx.}
2
∘
.
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle 2^{\circ }.\quad \int _{a}^{a}f(x)dx=0.}
3
∘
.
∫
a
b
m
d
x
=
m
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle 3^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}mdx=m(b-a).}
4
∘
.
∫
a
b
[
m
f
(
x
)
+
n
g
(
x
)
]
d
x
=
m
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
n
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle 4^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}[mf(x)+ng(x)]dx=m\int _{a}^{b}f(x)dx+n\int _{a}^{b}g(x)dx}
m
,
n
∈
R
.
{\displaystyle m,n\in \mathbb {R} .}
5
∘
.
{\displaystyle 5^{\circ }.}
f și g sunt integrabile pe [a, b] și dacă
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
,
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle f(x)\leq g(x),\;\forall x\in [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx.}
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
![{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138606cdb8eb7dddaba59b5aefe1ade6bc05a1b)
![{\displaystyle 4^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}[mf(x)+ng(x)]dx=m\int _{a}^{b}f(x)dx+n\int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a374d68175f034ff2308e40df4942b17225efaf)
![{\displaystyle f(x)\leq g(x),\;\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feee4dc650a6d13f7f0e7e8d30d8cbaa7e90cdda)
