Ideal minimal

În matematică, mai exact în teoria inelelor^⁠(d), un ideal minimal al unui inel R este un ideal bilateral nenul care nu conține niciun alt ideal bilateral nenul. De asemenea, un ideal minimal stâng este un ideal stâng nenul al lui R care nu conține alte ideale stângi nenule ale lui R, iar un ideal minimal drept al lui R este un ideal nenul care nu conține alte ideale drepte nenule ale lui R.

Definiție

Definiția unui ideal minimal drept N al unui inel R este echivalentă cu următoarele condiții:

• N este nenul și dacă K este un ideal drept al lui R cu {0} ⊆ K ⊆ N, atunci fie K = {0}, fie K = N.
• N este un R-modul simplu^⁠(d) drept.

Idealele minimale drepte/stângi/bilaterale sunt noțiunea duală a idealelor maximale.

Proprietăți

Multe proprietăți ale idealelor minimale pot fi găsite în texte standard, cum ar fi:

• Într-un inel cu unitate există întotdeauna ideale maximale drepte. Prin contrast, într-un inel cu unitate nu trebuie să existe ideale minimale drepte, stângi sau bilaterale.
• Soclul unui inel $\mathrm {soc} (R_{R})$ este o structură importantă definită în termenii idealelor drepte minimale ale lui R.
• Inelele pentru care fiecare ideal drept conține un ideal drept minimal sunt chiar inelele cu un soclu drept esențial.
• Orice inel artinian drept sau inel Kasch drept are un ideal minimal drept.
• Domeniile care nu sunt corpuri nu au ideale minimale drepte.
• În inelele cu unitate, idealele drepte minimale sunt în mod necesar ideale principale drepte, deoarece pentru orice x nenul dintr-un ideal minimal drept N, mulțimea xR este un ideal drept nenul al lui R în interiorul lui N, deci xR = N.
• Lema lui Brauer: Orice ideal minimal drept N dintr-un inel R satisface N² = {0} sau N = eR pentru un element idempotent^⁠(d) e din R.
• Dacă N₁ și N₂ sunt ideale minimale drepte neizomorfe ale lui R, atunci produsul N₁N₂ = {0}.
• Dacă N₁ și N₂ sunt idealuri minimale distincte ale unui inel R, atunci N₁N₂ = {0}.
• Un inel simplu cu un ideal minimal drept este un inel semisimplu.
• Într-un inel semiprim există un ideal minimal drept dacă și numai dacă există un ideal minimal stâng.

Bibliografie

• en Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (ed. 2), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487 
• en Isaacs, I. Martin (2009) [1994], Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 
• en Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• en Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (ed. 2), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439 

Legături externe

• en Minimal ideal