Ideal ireductibil

În matematică, despre un ideal propriu al unui inel comutativ se spune că este ireductibil dacă nu poate fi scris ca intersecția a două ideale strict mai mari.^[1]

Exemple[modificare | modificare sursă]

Orice ideal prim este ireductibil.^[2] Fie $J$ și $K$ ideale ale un inel comutativ $R$ , fără ca niciunul să fie conținut în celălalt. Atunci există $a\in J\setminus K$ și $b\in K\setminus J$ , unde niciunul nu este în $J\cap K$ dar produsul este. Acest lucru demonstrează că un ideal reductibil nu este prim. Un exemplu concret în acest sens sunt idealele $2\mathbb {Z}$ și $3\mathbb {Z}$ conținute în $\mathbb {Z}$ . Intersecția este $6\mathbb {Z}$ , iar $6\mathbb {Z}$ nu este un ideal prim.
Orice ideal ireductibil al unui inel noetherian^⁠(d) este un ideal primar,^[1] și, în consecință, pentru inelele noetheriene o descompunere ireductibilă este o descompunere primară^⁠(d).^[3]
Orice ideal primar al unui domeniu cu ideale principale^⁠(d) este un ideal ireductibil.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Un element al unui domeniu de integritate este prim dacă și numai dacă idealul generat de acesta este un ideal prim nenul. Acest lucru nu este valabil pentru idealele ireductibile; un ideal ireductibil poate fi generat de un element care nu este un element ireductibil, așa cum este cazul în $\mathbb {Z}$ pentru idealul $4\mathbb {Z}$ , deoarece nu este intersecția a două ideale strict mai mari.

Un ideal $I$ al unui inel $R$ poate fi ireductibil numai dacă mulțimea algebrică^⁠(d) pe care o definește este ireductibilă^⁠(d) (adică orice submulțime deschisă este densă) pentru topologia Zariski^⁠(d), sau echivalent dacă spațiul închis al spectrului inelului^⁠(d) $spec R$ format din idealele prime care îl conțin pe $I$ este ireductibil în topologia spectrului. Reciproca nu este valabilă; de exemplu, idealul de polinoame în două variabile fără termeni de ordinul întâi și al doilea nu este ireductibil.

Dacă $k$ este un corp algebric închis, alegerea radicalului unui ideal ireductibil al unui inel de polinoame peste $k$ este exact la fel cu alegerea unei scufundări^⁠(d) a unei varietăți afine^⁠(d) în spațiul afin al geometriei algebrice.

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b en Miyanishi, Masayoshi (1998), Algebraic Geometry, Translations of mathematical monographs, 136, American Mathematical Society, p. 13, ISBN 9780821887707
^ en Knapp, Anthony W. (2007), Advanced Algebra, Cornerstones, Springer, p. 446, ISBN 9780817645229
^ en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ed. Third). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. pp. 683–685. ISBN 0-471-43334-9.

Portal Matematică

[m98-1] Miyanishi, Masayoshi (1998), Algebraic Geometry, Translations of mathematical monographs, 136, American Mathematical Society, p. 13, ISBN 9780821887707

[2] Knapp, Anthony W. (2007), Advanced Algebra, Cornerstones, Springer, p. 446, ISBN 9780817645229

[Dummit-3] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ed. Third). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. pp. 683–685. ISBN 0-471-43334-9.

[1]

[2]

[3]