Formă pătratică

Forma pătratică este o expresie algebrică polinom omogen de gradul doi într-un număr de variabile. De exemplu pentru două variabile

4x^{2}+2xy-3y^{2}

este o formă pătratică în variabilele $\scriptstyle x$ și $\scriptstyle y$ . Pentru trei variabile x, y, z forma pătratică asociată e

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz

Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria și topologia diferențială, teoria numerelor etc.

În cazul general, o formă pătratică este un polinom omogen de gradul al doilea cu variabilele $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}:$

f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=a_{11}\cdot x_{1}^{2}+a_{22}\cdot x_{2}^{2}+\cdots +a_{nn}\cdot x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}\cdot x_{2}+\cdots +2a_{nn-1}x_{n-1}\cdot x_{n}.

Numărul termenilor micști in care apar produse de câte două variabile e egal cu numărul combinărilor de n luate câte 2.

Matricea simetrică ${\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{n}$ se numește matricea atașată formei pătratice $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).$

Formele pătratice au numeroase aplicații în analiză matematică, geometrie și mecanică. Studiul formelor pătratice binare (cu două nedeterminate) a fost introdus de Lagrange în 1767, rezultate importante se datorează lui Gauss (1801), iar Dirichlet în 1842 a dezvoltat formele pătratice binare.

O formă pătratică cu $a_{ij}=0,$ pentru $i\neq j,$ se numește formă canonică. Matricea atașată unei forme canonice este o matrice diagonală.