Extindere normală

În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L. Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o extinderi Galois^⁠(d). Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.

Definiție

Fie $L/K$ o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât $L\subseteq {\overline {K}}$ (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente:

• Orice încorporare a L în ${\overline {K}}$ induce un automorfism pe L.
• L este corpul de descompunere^⁠(d) al familiei de polinoame din $K\left[X\right]$.
• Orice polinom ireductibil din $K\left[X\right]$ care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți

Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:

• Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E.
• Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri^⁠(d) EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.

Condiții echivalente pentru normalitate

Fie $L/K$ algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

• Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
• Există o mulțime $S\subseteq K[x]$ a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât $K\subseteq F\subsetneq L$ sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
• Toate omomorfismele $L\to {\bar {K}}$ au aceeași imagine;
• Grupul de automorfisme ${\text{Aut}}(L/K),$ al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme $L\to {\bar {K}}.$

Exemple și contraexemple

De exemplu, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ este o extindere normală pe $\mathbb {Q} ,$ deoarece este corpul de descompunere al $x^{2}-2.$ Pe de altă arte, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ nu este o extindere normală pe $\mathbb {Q}$ deoarece polinomul ireductibil $x^{3}-2$ are o rădăcină în el, ${\sqrt[{3}]{2}}$, dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul ${\overline {\mathbb {Q} }}$ al numerelor algebrice este închiderea algebrică a $\mathbb {Q} ,$ adică ea conține $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ Deoarece

$$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}$$

și, dacă $\omega$ este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația

$${\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}$$

este o încorporare a $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ în ${\overline {\mathbb {Q} }}$ a cărei restricție la $\mathbb {Q}$ este identitatea. Totuși, $\sigma$ nu este un automorfism al $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

Pentru orice număr prim $p,$ extinderea $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ are in mod normal gradul $p(p-1).$ Este corpul de descompunere al $x^{p}-2.$ Aici $\zeta _{p}$ semnifică a $p$-a rădăcină primitivă a unității. Corpul $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ este închiderea normală a $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

Închidere normală

Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.

Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.

Bibliografie

• en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• en Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787