Extensie normală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În algebra abstractă o extensie normală este o extensie de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.[1][2] Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extensiile algebrice să fie o extensii Galois⁠(d). Bourbaki numește o astfel de extensie o cvasiextensie Galois.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie o extensie algebrică (adică L este o extensie algebrică pe K), astfel încât (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extensiei normale, sunt echivalente:[3]

  • Orice încorporare a L în induce un automorfism pe L.
  • L este corpul de descompunere⁠(d) al familiei de polinoame din .
  • Orice polinom ireductibil din care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

Fie L o extensie pe corpul K. Atunci:

  • Dacă L este o extensie normală pe K și dacă E este o extensie intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extensie normală pe E.[4]
  • Dacă E și F sunt extensii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri⁠(d) EF și E ∩ F sint și ele extensii normale pe K.[4]

Condiții echivalente pentru normalitate[modificare | modificare sursă]

Fie algebrică. Corpul L este o extensie normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

  • Polinomul minim peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
  • Există o mulțime a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
  • Toate omomorfismele au aceeași imagine;
  • Grupul de automorfisme al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme

Exemple și contraexemple[modificare | modificare sursă]

De exemplu, este o extensie normală pe deoarece este corpul de descompunere al Pe de altă arte, nu este o extensie normală pe deoarece polinomul ireductibil are o rădăcină în el, , dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul al numerelor algebrice este închiderea algebrică a adică ea conține Deoarece

și, dacă este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația
este o este o încorporare a în a cărei restricție la este identitatea. Totuși, nu este un automorfism al

Pentru orice număr prim extensia are in mod normal gradul Este corpul de descompunere al Aici semnifică a -a rădăcină primitivă a unității. Corpul este închiderea normală a

Închidere normală[modificare | modificare sursă]

Dacă K este un corp iar L este o extensie algebrică pe K, atunci există o extensie algebrică M pe L astfel încât M este o extensie normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extensie care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extensie normală pe K este M însuși. Această extensie este numită închiderea normală a extensiei L pe K.

Dacă L este o extensie finită pe K, atunci extensia sa normală este și ea o extensie finită.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3, NOR 3.
  2. ^ Jacobson 1989, p. 489, Section 8.7.
  3. ^ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3.
  4. ^ a b Lang 2002, p. 238, Theorem 3.4.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Lang, Serge (), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
  • en Jacobson, Nathan (), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787