Cercul celor nouă puncte

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Cercul celor nouă puncte

În geometrie, cercul celor nouă puncte pentru un anumit triunghi este cercul care unește următoarele puncte importante ale triunghiului:

  • mijloacele laturilor acestuia;
  • picioarele înălțimilor;
  • mijloacele segmentelor formate din ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia.

Acest cerc se mai numește și cercul lui Feuerbach, cercul lui Euler, al lui Terquem

Descoperire[modificare | modificare sursă]

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Nine-point circle.svg
9pcircle 04.png

Raza cercului celor nouă puncte este de două ori mai mică decât raza cercului circumscris triunghiului.

Dacă sunt respectiv mijloacele atunci este transformarea printr-o omotetie de pol și raport . Ca atare, cum cercul celor nouă puncte este cercul circumscris al , între raza lui, și raza cercului circumscris există același raport. Deci

Cercul celor nouă puncte intersectează orice dreaptă care trece prin ortogcentru în mijloacele celor două segmente formate de ortocentru și respectiv punctele de intersecție ale dreptei cu cercul circumscris.

Aceasta este o consecință a relației de omotetie dintre cele două cercuri. Pentru orice punct de pe Cercul celor nouă puncte, corespondentul lui pe cercul circumscris triunghiului ABC, este punctul
Centrul cercului celor 9 puncte, ortocentrul triunghiului, centrul sau de greutatate si centrul cercului circumscris sunt coliniare.

Legături externe[modificare | modificare sursă]