Omotetie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pantograph animation.gif

În geometrie, omotetia exprimă într-o formă algebrică asemănarea a două figuri.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Pentru a ilustra o omotetie nu este nevoie de 2, 3 sau mai multe dimensiuni

Cel mai simplu exemplu este dat de către o riglă.

Vârful 0 este centrul de omotetie.

Punctul 1 este transportat, de pildă, în punctul 4, printr-o omotetie de centru 0 și raport patru ; putem scrie foarte bine :

04 = 01 + 12 + 23 + 34 = 01 + 01 + 01 + 01 = patru × 01

sau, pe scurt,

04 = patru × 01,

și încă :

4 = 0 + patru × 01

Un mod răspândit de a nota informația de mai sus este :

 1 \mapsto 0 + \lambda \overrightarrow{01},

unde λ = patru. Dificultatea la citire este dată de faptul că semnul + este folosit ca o adunare între două tipuri distincte de obiecte : în stânga puncte iar în dreapta, segmente orientate. Astfel de abuzuri de notație sunt acceptate în matematică, pentru a nu încărca o formulă cu prea feluri de multe semne.

Teorema lui Thales[modificare | modificare sursă]

Segmentul DE este transformat în segmentul BC printr-o omotetie de centru A și raport 3:2

Folosind notația de mai sus, o configurație de cinci puncte legate prin teorema lui Thales poate fi descrisă astfel :

 D \mapsto B = A + \lambda \overrightarrow{AD},
 E \mapsto C = A + \lambda \overrightarrow{AE}

unde coeficientul (sau raportul de omotetie) λ este aproximativ 3/2 (pentru desenul din imagine).

Teorema lui Desargues[modificare | modificare sursă]

O configurație de șapte puncte legate prin teorema lui Desargues

Folosind notația de mai sus, o configurație de șapte puncte legate prin teorema lui Desargues poate fi descrisă astfel:

 A \mapsto D = O + \lambda \overrightarrow{OA},
 B \mapsto E = O + \lambda \overrightarrow{OB},
 C \mapsto F = O + \lambda \overrightarrow{OC}

Echivalent, se poate scrie la fel de bine:

 OD = \lambda \overrightarrow{OA},
 OE = \lambda \overrightarrow{OB},
 OF = \lambda \overrightarrow{OC}

Avantaje[modificare | modificare sursă]

Noțiunea de omotetie aduce în plus, în geometrie, coeficientul \lambda.

În geometria riglei și a compasului, numerele care pot lua locul lui \lambda nu ajung pentru a putea trisecta un unghi, dubla un cub sau pentru a face quadratura cercului.

Însă dacă asemanarea a două obiecte a fost descrisă folosind relațiile de omotetie, geometria riglei și a compasului poate fi riguros generalizată la alte geometrii care corespund corpului de ”coeficienți”, oricât de sărac sau de bogat în numere ar fi acesta.

Astfel, \lambda poate fi un număr algebric, un număr real, un număr complex sau alt număr dintr-un corp oarecare. În plus, noțiunea de asemănare transcrisă astfel poate fi (și este) implementată în programele de calculator.

Bibilografie[modificare | modificare sursă]

  • Dicționar Tehnic Poliglot, română, rusă, engleză, germană, franceză, spaniolă, ediția a doua, Editura Tehnică, București 1967
  • Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006