Bază ortonormată

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebra liniară, o bază ortonormată a unui spațiu euclidian V de dimensiune n peste este o bază algebrică cu toți vectorii având norma unitară și oricare doi vectori distincți ortogonali:

Există următoarea:

Teoremă: În orice spațiu euclidian există o bază ortonormată.

Avantajele utilizării bazelor ortonormate[modificare | modificare sursă]

  • Calculul componentelor unui vector într-o bază ortonormată se face simplu, cu ajutorul produsului scalar și nu prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
  • Într-un spațiu euclidian n-dimensional dotat cu o bază ortonormată, formulele de calcul pentru produsul scalar dintre doi vectori și norma unui vector au aceeași formă cu cele din
  • Matricea de trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală, adică o matrice a cărei inversă este egală cu transpusa sa.

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste și o bază ortonormată a sa. Atunci dacă vectorul are în baza ortonormată B scrierea

atunci componentele sale în această bază sunt date de formulele:

Prin urmare, orice vector are în baza ortonormată scrierea:

Matricea de trecere dintre două baze ortonormate[modificare | modificare sursă]

Fie C o matrice cu n linii și n coloane cu elemente reale.

Definiție. O matrice se numește matrice ortogonală dacă:

Din definiție rezultă că o matrice ortogonală C este inversabilă și


Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste o bază ortonormată a sa și o altă bază a lui V, iar C matricea de trecere de la baza la baza Următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. Baza este ortonormată.
  2. Matricea C este o matrice ortogonală.

Vezi și[modificare | modificare sursă]