Teorema lui Heine

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.


În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →    \mathbb{R}

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

 \forall x \in [a, b] , \; \forall \epsilon > 0 , \exists \alpha_{x\epsilon} > 0

astfel încât

 \forall x' \in [a, b]  , \; |x-x'| < \alpha_{x\epsilon} \;  \Rightarrow \; |f(x)-f(x')| < \epsilon

Deoarece  \alpha poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

 \forall x \in [a, b]  , \; \exists \alpha_x

devine

 \exists \alpha  , \; \forall x \in [a, b]


Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

 \forall \epsilon > 0 , \; \exists \alpha_\epsilon > 0 \; / \; \forall x \in [a, b]  , \; \forall x' \in [a, b]  ,  \;  |x-x'| < \alpha_\epsilon  \;  \; \Rightarrow  \;  \; |f(x)-f(x')| < \epsilon .


Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

 \forall \epsilon > 0 , \; \exists \alpha > 0

astfel încât:

 \forall (a, b) \in X , \; d(a, b) < \alpha \; \Rightarrow \; d'(f(a), f(b)) < \epsilon .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există  \epsilon > 0 astfel încât pentru orice  \scriptstyle \alpha = \frac {1}{n}

putem găsi două puncte  a_n și  b_n în X cu:

 d(a_n, b_n) < \frac {1}{n}  și  d'(f(a_n), f(b_n)) > \epsilon\,

Șirul  a_n are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

 \phi\,

iar limita sa  a\, .

Deoarece

 d(a_{\phi(n)}, b_{\phi(n)}) < \frac {1}{\phi(n)}

avem

 (b_{\phi(n)}) convergent, cu limita  a\,


Așadar, dacă n tinde către  \scriptstyle +\infty

și deoarece f este continuă:

 d'(f(a), f(b)) \ge \epsilon\, .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]