Teorema lui Heine

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.

În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →   $\mathbb{R}$

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

$\forall x \in [a, b] , \; \forall \epsilon > 0 , \exists \alpha_{x\epsilon} > 0$

astfel încât

$\forall x' \in [a, b] , \; |x-x'| < \alpha_{x\epsilon} \; \Rightarrow \; |f(x)-f(x')| < \epsilon$

Deoarece $\alpha$ poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

$\forall x \in [a, b] , \; \exists \alpha_x$

devine

$\exists \alpha , \; \forall x \in [a, b]$

Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

$\forall \epsilon > 0 , \; \exists \alpha_\epsilon > 0 \; / \; \forall x \in [a, b] , \; \forall x' \in [a, b] , \; |x-x'| < \alpha_\epsilon \; \; \Rightarrow \; \; |f(x)-f(x')| < \epsilon .$

Demonstrație

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

$\forall \epsilon > 0 , \; \exists \alpha > 0$

astfel încât:

$\forall (a, b) \in X , \; d(a, b) < \alpha \; \Rightarrow \; d'(f(a), f(b)) < \epsilon$ .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există $\epsilon > 0$ astfel încât pentru orice $\scriptstyle \alpha = \frac {1}{n}$

putem găsi două puncte $a_n$ și $b_n$ în X cu:

$d(a_n, b_n) < \frac {1}{n}$ și $d'(f(a_n), f(b_n)) > \epsilon\,$

Șirul $a_n$ are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

$\phi\,$

iar limita sa $a\,$ .

Deoarece

$d(a_{\phi(n)}, b_{\phi(n)}) < \frac {1}{\phi(n)}$

avem

$(b_{\phi(n)})$ convergent, cu limita $a\,$

Așadar, dacă n tinde către $\scriptstyle +\infty$

și deoarece f este continuă:

$d'(f(a), f(b)) \ge \epsilon\,$ .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și

• Georg Cantor

Legături externe

• Teorema Lui Heine la PlanetMath
• Demonstrația teoremei