Pavare apeirogonală de ordinul 3

Descriere
Pavare apeirogonala de ordinul 3

Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic
Tip	pavare uniformă hiperbolică
Configurația vârfului	∞³
Configurația feței	V3^∞
Simbol Wythoff	3 \| ∞ 2 2 ∞ \| ∞ ∞ ∞ ∞ \|
Simbol Schläfli	{∞,3} t{∞,∞} t(∞,∞,∞)
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	[∞,3], (∞32) [∞,∞], (∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)
Grup de rotație	[∞,3]⁺, (∞32) [∞,∞]⁺, (∞∞2) [(∞,∞,∞)]⁺, (∞∞∞)
Poliedru dual	pavare triunghiulară de ordin infinit
Proprietăți	tranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe

În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 3 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,3}, având trei apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.

Pavarea apeirogonală de ordinul 2 reprezintă un diedru infinit în planul euclidian ca {∞,2}.

Cercul circumscris apeirogonului[modificare | modificare sursă]

Fiecare față apeirogonală este circumscrisă de un oriciclu, care arată ca un cerc în modelul discului Poincaré, tangent intern la frontiera cercului proiectiv (de la infinit).

Colorări uniforme[modificare | modificare sursă]

La fel ca la pavările planului euclidian, există 3 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 3, fiecare pentru domenii de reflexie diferite ale grupului triunghiului^⁠(d):

Regulată	Trunchiate
{∞,3}	t_0,1{∞,∞}	t_1,2{∞,∞}	t{∞^[3]}
Grupului triunghiului hiperbolic
[∞,3]	[∞,∞]		[(∞,∞,∞)]

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Dualul acestei pavări reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,∞,∞)] (*∞∞∞). Există 15 subgrupuri de indici mici (7 unice) construite din [(∞,∞,∞)] prin îndepărtarea planelor de oglindire și alternare. Planele de oglindire pot fi eliminate dacă ordinul ramurilor sale este par și se reduce ordinul ramurilor învecinate la jumătate. Îndepărtarea a două plane de oglindire lasă un punct de rotație de ordin pe jumătate unde planele de oglindire îndepărtate se întâlnesc. În aceste imagini domeniile fundamentale sunt colorate alternativ alb-negru, iar planele de oglindire sunt situate la limitele dintre culori. Simetria poate fi dublată ca simetrie ∞∞2 prin adăugarea unui plan de oglindire care împarte în două domeniul fundamental. Împărțirea unui domeniu fundamental de către 3 plane de oglindire creează o simetrie ∞32.

Se construiește un subgrup mai mare [(∞,∞,∞^*)], de indice 8, deoarece (∞*∞^∞) cu punctele de rotație eliminate devine (*∞^∞).

Subgrupuri ale [(∞,∞,∞)] (*∞∞∞)
Indice^⁠(d)	1	2			4
Diagramă
Coxeter	[(∞,∞,∞)]	[(1⁺,∞,∞,∞)] =	[(∞,1⁺,∞,∞)] =	[(∞,∞,1⁺,∞)] =	[(1⁺,∞,1⁺,∞,∞)]	[(∞⁺,∞⁺,∞)]
Orbifold	*∞∞∞	*∞∞∞∞			∞*∞∞∞	∞∞∞×
Diagramă
Coxeter		[(∞,∞⁺,∞)]	[(∞,∞,∞⁺)]	[(∞⁺,∞,∞)]	[(∞,1⁺,∞,1⁺,∞)]	[(1⁺,∞,∞,1⁺,∞)] =
Orbifold		∞*∞			∞*∞∞∞
Subgrupuri directe
Indice	2	4			8
Diagramă
Coxeter	[(∞,∞,∞)]⁺	[(∞,∞⁺,∞)]⁺ =	[(∞,∞,∞⁺)]⁺ =	[(∞⁺,∞,∞)]⁺ =	[(∞,1⁺,∞,1⁺,∞)]⁺ =
Orbifold	∞∞∞	∞∞∞∞			∞∞∞∞∞∞
Subgrupuri rădăcină
Indice	∞			∞
Diagramă
Coxeter	[(∞,∞*,∞)]	[(∞,∞,∞*)]	[(∞*,∞,∞)]	[(∞,∞*,∞)]⁺	[(∞,∞,∞*)]⁺	[(∞*,∞,∞)]⁺
Orbifold	∞*∞^∞			∞^∞

Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]

Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate cu simbolul Schläfli {n,3}.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică	Euclidiană	Pavări hiperbolice
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,3]
Simetrie: [∞,3], (*∞32)							[∞,3]⁺ (∞32)	[1⁺,∞,3] (*∞33)		[∞,3⁺] (3*∞)

		=	=	=				= or	= or	=

{∞,3}	t{∞,3}	r{∞,3}	t{3,∞}	{3,∞}	rr{∞,3}	tr{∞,3}	sr{∞,3}	h{∞,3}	h₂{∞,3}	s{3,∞}
Duale uniforme


V∞³	V3.∞.∞	V(3.∞)²	V6.6.∞	V3^∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V(3.∞)³		V3.3.3.3.3.∞

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞]
= =	= =	= =	= =	= =	=	=

{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
Pavări duale


V∞^∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)²	V∞.∞.∞	V∞^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Alternări
[1⁺,∞,∞] (*∞∞2)	[∞⁺,∞] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺] (∞*∞)	[∞,∞,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,∞,2⁺)] (2*∞∞)	[∞,∞]⁺ (2∞∞)


h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	h₂{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
Duale alternate


V(∞.∞)^∞	V(3.∞)³	V(∞.4)⁴	V(3.∞)³	V∞^∞	V(4.∞.4)²	V3.3.∞.3.∞

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞]



(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) r{∞,∞}	t(∞,∞,∞) t{∞,∞}
Pavări duale

V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Alternări
[(1⁺,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞⁺,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1⁺)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞⁺)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]⁺ (∞∞∞)


Duale alternate

V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.