Morfisme de grupuri

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

[modifică] Definiţie

Definim grupuri G,G' (in notaţie multiplicativa). O funcţie f:G → G' se numeşte morfism de grupuri dacă f(x•y) = f(x)•f(y), $\forall$ x,y $\in$ G.

[modifică] Propozitie

1) Compunere de morfism de grupuri este morfism de grupuri.
2) G,G' sunt două grupuri.
θ:G → G', θ(x)=x', x $\in$ G este evident morfism de grupuri numit morfismul nul.
1_G : G → G', 1_G = x, x $\in$ G, atunci 1_G este evident morfism de grupuri numit morfism identic al grupului G. In plus, daca f:G → G' este morfism de grupuri atunci f • 1_G = f si 1_G • f= f.
3) G,G', f:G → G'. Daca e si e' sunt elemente neutre ale lui G si G' atunci f(e)=e'.
4) Fie G,G' grupuri si f:G → G' morfism de grupuri. Rezulta $\forall$ x $\in$ G, f( $x - 1$ ) = f(x) $- 1$ . 5) Fie G,G' grupuri si f:G → G' morfism de grupuri. Atunci f e izomorfism daca si numai daca f morfism bijectiv.