1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Primele mii de sume parţiale ale şirului 1 − 2 + 3 − 4 + …

În matematică, 1 - 2 + 3 - 4 + … este seria infinită ai cărei termeni sunt numere întregi pozitive succesive, cu semne alternante. Folosind notația însumării suma primilor m termeni ai seriei poate fi exprimată ca:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Seria infinită diverge, adică șirul său de sume parțiale, (1, −1, 2, −2, …), nu tinde înspre o limită finită. Cu toate acestea, la mijlocul secolului al XVIII-lea, Leonhard Euler a scris ceea ce, în opinia lui, era o egalitate paradoxală:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

O explicație riguroasă a acestei egalități avea să apară mult mai târziu. Începând în 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel și alții au investigat metode bine definite (pe baza axiomelor) pentru a atribui sume generalizate unor serii divergente, printre care și noi interpretări a încercărilor lui Euler. Multe dintre metodele de sumare alocă pentru 1 − 2 + 3 − 4 + … „suma” de ¹⁄₄ în final. Sumarea lui Cesàro este una din puținele procedee care nu însumează 1 − 2 + 3 − 4 + …, așadar seria este un exemplu unde trebuie folosită o metodă mai eficientă, precum sumarea lui Abel.

Seria 1 − 2 + 3 − 4 + … este strâns legată de seria lui Grandi, 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler le-a tratat pe acestea ca fiind cazuri particulare ale seriei 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … pentru n arbitrar, o gamă de cercetare extinzând activitatea sa asupra problemei lui Basel și călăuzindu-l spre ecuația funcțională a ceea ce este cunoscut azi ca funcția eta a lui Dirichlet și funcția zeta a lui Riemann.

Divergență

Termenii seriei nu se apropie de 0; prin urmare, 1 − 2 + 3 − 4 + … se diverge, conform testului de termeni. Ca bază pentru analiză în secțiunile ulterioare, este de asemenea util să se observe divergența la nivel fundamental. Prin definiție, convergența sau divergența unei serii infinite este determinată de convergența sau divergența secvenței sale de sume parțiale, iar în acest caz, sumele parțiale pentru 1 − 2 + 3 − 4 + … sunt:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

Această succesiune este notabilă pentru abordarea fiecărui număr întreg - chiar și 0 dacă s-ar lua în calcul suma parțială vidă - și, astfel, stabilește numerabilitatea setului $\mathbb {Z}$ de întregi. . Secvența de sume parțiale arată clar că seria nu se converge spre un număr particular (pentru orice limită x propusă, se poate găsi un punct dincolo de aceasta, pentru care toate sumele parțiale ulterioare nu sunt incluse în intervalul [x-1, x+1]), deci 1 − 2 + 3 − 4 + … se diverge.

Euristică pentru însumare

Stabilitate și linearitate

Din moment ce termenii 1, −2, 3, −4, 5, −6 ș.a.m.d. urmează un tipar simplu, seria 1 − 2 + 3 − 4 + … poate fi manipulată mutarea poziției și adunarea termen cu termen pentru a obține o valoare numerică. Dacă are sens a afirma s = 1 − 2 + 3 − 4 + … pentru un număr s oarecare, următoarele manipulări demonstrează că s = ¹⁄₄:

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

Însumând 4 copii a 1 − 2 + 3 − 4 + …, folosind doar schimbarea poziţiei şi adunare termen cu termen, rezultatul reiese 1. Partea stângă şi partea dreaptă fiecare manifestă două copii a 1 − 2 + 3 − 4 + …, completând demonstrarea pentru 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Deci, $s={\frac {1}{4}}$. Această derivare este ilustrată grafic în imaginea din dreapta.

Deși 1 − 2 + 3 − 4 + … nu are un rezultat în sensul obișnuit, ecuația s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ poate fi tolerată ca și cel mai firesc răspuns, în caz că astfel de sumă trebuie definită. O definiție generalizată a „sumei” unei serii divergente este metoda sumației, sau a sumabilității, care adună o submulțime a tuturor seriilor posibile. Există mai multe metode diferite (unele fiind descrise mai jos) ce sunt caracterizate prin proprietățile pe care le împart cu sumațiile obișnuite. Ceea ce manipulările de mai sus demonstrează cu adevărat este: Fie orice metodă de sumabilitate care este lineară și stabilă și însumează seria 1 − 2 + 3 − 4 + …, suma produsă este ¹⁄₄. Mai mult, întrucât

${\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \\\end{array}}$

asemenea metodă trebuie să însumeze și seria lui Grandi ca 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂.

Bibliografie

Generală

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). „Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. Accesat în 22 martie 2007. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link) Originally published as Euler, Leonhard (1768). „Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques”. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (1999). „The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 91-75377. 
• Kline, Morris (1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961. 
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (ed. English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian). Hindustan Pub. Corp. LCCN 68-17528. 
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
• Tucciarone, John (1973). „The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925”. Archive for History of Exact Sciences. 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365. 
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384. 

Specifică