Compus politopic

Un compus poliedric este o figură care este compusă din mai multe poliedre care au un centru comun. Aceștia sunt analogii tridimensionali ai compușilor poligonali, cum ar fi hexagrama.

Vârfurile exterioare ale unui compus pot fi conectate pentru a forma un poliedru convex numit anvelopă convexă. Un compus este o fațetare a anvelopei sale convexe.

Un alt poliedru convex este format din micul spațiu central comun tuturor membrilor compusului. Acest poliedru poate fi folosit ca nucleu pentru un set de stelări.

Compuși regulați

Un compus poliedric regulat poate fi definit ca un compus care, la fel ca un poliedru regulat, este tranzitiv pe vârfuri, muchii și fețe. Spre deosebire de cazul poliedrelor, acest lucru nu este echivalent cu faptul că grupul de simetrie acționează tranzitiv asupra steagurilor; compusul a două tetraedre este singurul compus regulat cu acea proprietate. Există cinci compuși regulați ai poliedrelor:

Compus regulat (simbol Coxeter)	Imagine	Sferic	Anvelopă convexă	Nucleu comun	Grup de simetrie	Subgrup limitat la un component	Compus regulat dual
Două tetraedre {4,3}[2{3,3}]{3,4}			Cub	Octaedru	*432 [4,3] Oh	*332 [3,3] Td	Două tetraedre
Cinci tetraedre {5,3}[5{3,3}]{3,5}			Dodecaedru	Icosaedru	532 [5,3]+ I	332 [3,3]+ T	Geamăn chiral (enantiomorf)
Zece tetraedre 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}			Dodecaedru	Icosaedru	*532 [5,3] Ih	332 [3,3] T	Zece tetraedre
Cinci cuburi 2{5,3}[5{4,3}]			Dodecaedru	Triacontaedru rombic	*532 [5,3] Ih	3*2 [3,3] Th	Cinci octaedre
Cinci octaedre [5{3,4}]2{3,5}			Icosidodecaedru	Icosaedru	*532 [5,3] Ih	3*2 [3,3] Th	Cinci cuburi

Cel mai cunoscut este compusul regulat de două tetraedre, denumit adesea stella octangula, un nume dat de Kepler. Vârfurile celor două tetraedre definesc un cub, iar intersecția celor două definește un octaedru regulat, care are aceleași plane ale fețelor ca și compusul. Astfel, compusul a două tetraedre este o stelare a octaedrului, de fapt singura stelare finită a acestuia.

Compusul de cinci tetraedre vine în două versiuni enantiomorfe, care împreună alcătuiesc compusul regulat de zece tetraedre. Compusul regulat din zece tetraedre poate fi construit și din cinci stella octangula.

Fiecare dintre compușii tetraedrici regulați este autodual sau dual față de geamănul său chiral; compusul regulat de cinci cuburi și compusul regulat de cinci octaedre sunt duale între ele. Prin urmare, compușii poliedrici regulați pot fi considerați și compuși duali regulați.

Notația Coxeter pentru compușii regulați este dată în tabelul de mai sus, încorporând simbolurile Schläfli. Simbolurile dintre parantezele pătrate, [d{p,q}], descriu componentele compusului: un număr de d poliedre {p,q}. Simbolurile dinainte de parantezele pătrate descriu dispunerea vârfurilor compusului: c{m,n} [d{p,q}] este un compus din d poliedre {p,q} care au în comun vârfurile lui {m,n} de c ori. Simbolurile de după parantezele pătrate descriu aranjamentul fațetelor compusului: [d{p,q}]e{s,t} este un compus din d poliedre {p,q} care au în comun fețele lui {s,t} de e ori. Acestea pot fi combinate: astfel c{m,n} [d{p,q}]e{s,t} este un compus din d poliedre {p,q} care are în comun vârfurile lui {m,n} de c ori și fețele lui {s,t} de e ori. Această notație poate fi generalizată la compuși în orice număr de dimensiuni.

Compuși duali

Tetraedru trunchiat (bej) și
tetraedru triakis (maro)

Cub snub (bej) și
icositetraedru pentagonal (maro)

Icosidodecaedru (bej) și
triacontaedru rombic (maro)

Compuși duali ai unor poliedre arhimedice și Catalan

Un compus dual este compus dintr-un poliedru și dualul său, dispuși în jurul unei sfere mediane comune, astfel încât muchia unui poliedru intersectează muchia duală a poliedrului dual. Există cinci compuși duali ai poliedrelor regulate.

Nucleul este rectificarea ambelor poliedre. Anvelopa este duala acestei rectificări, iar diagonalele fețelor sale rombice sunt laturile intersectate ale celor două poliedre (și au cele patru vârfuri alternate). Pentru poliedrele convexe, acesta este anvelopa convexă.

Compus dual	Imagine	Anvelopă	Nucleu	Grup de simetrie
Două tetraedre (Compus de două tetraedre, octaedru stelat)		Cub	Octaedru	*432 [4,3] Oh
Cub–octaedru (Compus de cub și octaedru)		Dodecaedru rombic	Cuboctaedru	*432 [4,3] Oh
Dodecaedru–icosaedru (Compus de dodecaedru și icosaedru)		Triacontaedru rombic	Icosidodecaedru	*532 [5,3] Ih
Micul dodecaedru stelat–marele dodecaedru (Compus de sD și gD)		Triacontaedru rombic medial (Convex: Icosaedru)	Dodecadodecaedru (Convex: Dodecaedru)	*532 [5,3] Ih
Marele icosaedru-marele dodecaedru stelat (Compus de gI și gsD)		Marele triacontaedru rombic (Convex: Dodecaedru)	Marele icosidodecaedru (Convex: Icosaedru)	*532 [5,3] Ih

Tetraedrul este autodual, deci compusul dual al unui tetraedru cu dualul său este octaedrul stelat regulat.

Compușii duali octaedrici și icosaedrici sunt primele stelării ale cuboctaedrului, respectiv icosidodecaedrului.

Bibliografie

• en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79: 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 .
• Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge .
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 51–53 .
• en Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds, unpublished manuscript .
• en Hess, Edmund (1876), „Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder”, Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg, 11: 5–97 .
• la Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione .
• en Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8
• en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  p. 87 Five regular compounds
• en McMullen, Peter (2018), „New Regular Compounds of 4-Polytopes”, New Trends in Intuitive Geometry, 27: 307–320, doi:10.1007/978-3-662-57413-3_12 .

Legături externe

• en MathWorld: Polyhedron Compound
• en Compound polyhedra – from Virtual Reality Polyhedra
  • en Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• en Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• en Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• en Polyhedral Compounds
• en http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• en Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}
• en Klitzing, Richard. „Compound polytopes”.