Poliedru dual

Dualul unui cub este un octaedru; vârfurile unuia corespund fețelor celuilalt

În geometrie orice poliedru este asociat cu o a doua figură, duală, unde vârfurile unuia corespund fețelor celeilalte și muchiile dintre perechile de vârfuri ale unuia corespund muchiilor dintre perechile de fețe ale celeilalte. („Corespondența” trebuie înțeleasă în sensul că sunt elemente de același tip, care chiar se intersectează, dar nu că ar fi aceleași.) Astfel de figuri duale rămân poliedre combinatorice sau abstracte, dar nu toate sunt și poliedre geometrice. Pornind de la orice poliedru dat, dualul dualului său este poliedrul inițial.

Dualitatea păstrează simetriile unui poliedru. Prin urmare, pentru multe clase de poliedre definite prin simetriile lor, dualii aparțin și ei aceluiași grup de simetrie. Astfel, poliedrele regulate — poliedrele platonice (convexe) și poliedrele Kepler–Poinsot (stelate) — formează perechi duale, unde [[tetraedrul] regulat este autodual. Dualul unui poliedru izogonal (având vârfuri echivalente), este unul izoedric, având fețe echivalente. Dualul unui poliedru izotoxal (având muchii echivalente) este, de asemenea, izotoxal.

Dualitatea este strâns legată de inversiune sau polaritate, o transformare geometrică care, atunci când este aplicată unui poliedru convex, realizează poliedrul dual ca un alt poliedru convex.

Tipuri de dualitate

Dualul unui poliedru platonic poate fi construit conectând centrul fețelor. În general asta creează doar un dual topologic.
Ilustrații din Harmonices Mundi (1619) de Kepler.

Există multe feluri de dualitate. Cele mai relevante pentru poliedrele elementare sunt inversiunea polară și dualitatea topologică sau abstractă.

Inversiunea polară

Dualul poliedrului P este adesea definit în termeni de inversiune polară față de o sferă. Aici, fiecare vârf (pol) este asociat cu planul feței (plan polar), astfel încât raza de la centru la vârf să fie perpendiculară pe plan, iar produsul distanțelor de la centru la două puncte duale este egal cu pătratul razei sferei.

Când sfera are raza r și centrul în origine, adică este definită de ecuația $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ iar P este un poliedru convex, atunci dualul său polar este definit prin

$P^{\circ }=\{q\in \mathbb {R} ^{3}\mid q\cdot p\leq r^{2}{\text{ pentru toți }}p\in P\}$

unde $q\cdot p$ este produsul scalar al q și p. Dacă nu este specificată nicio sferă în construcția dualului, atunci se subînțelege că în definițiile de mai sus este utilizată sfera unitate, adică având $r=1\,$.

Pentru fiecare față a lui P descrisă de ecuația liniară

$x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}\,$,

poliedrul dual $P^{\circ }$ va avea un vârf $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Similar, fiecare vârf al P corespunde unei fețe a $P^{\circ }$, și fiecare muchie a lui P corespunde unei muchii a lui $P^{\circ }$. Corespondența între vârfuri, muchii și fețele lui P și $P^{\circ }$ inversează elementele. De exemplu, dacă o muchie a lui P conține un vârf, muchia corespondentă a lui $P^{\circ }$ va fi conținută în fața corespondentă.

Pentru poliedrele simetrice având un centru evident, de obicei poliedrul și sfera se iau concentrice, ca în construcția lui Dorman Luke descrisă mai jos. Dacă există mai multe axe de simetrie, acestea se vor intersecta în mod necesar într-un singur punct, care de obicei este considerat ca fiind centrul. În caz contrar, de obicei se ia o sferă circumscrisă, o sferă înscrisă sau o sferă mediană (cea tangentă la toate muchiile).

Cu toate acestea, este posibil să se inverseze un poliedru față de orice sferă, iar forma rezultată a dualului va depinde de mărimea și poziția sferei; pe măsură ce sfera se schimbă, se schimbă și forma duală. Alegerea centrului pentru sferă este suficientă pentru a defini dualitatea până la similaritate.

Dacă un poliedru din spațiul euclidian are un element care trece prin centrul sferei, elementul corespunzător al dualului său va merge la infinit. Deoarece spațiul euclidian nu atinge niciodată infinitul, echivalentul proiectiv, numit spațiu euclidian extins, se poate forma prin adăugarea „planului la infinit” necesar. Unii teoreticieni preferă să se țină de spațiul euclidian și spun că nu există dualitate. Între timp, Wenninger (1983) a găsit o modalitate de a reprezenta acești duali infiniți, într-o manieră potrivită pentru realizarea de modele (a unei porțiuni finite).

Conceptul de dualitate aici este strâns legat de dualitatea din geometria proiectivă, unde dreptele și muchiile sunt interschimbate. Polaritatea proiectivă funcționează suficient de bine pentru poliedrele convexe. Dar pentru figurile neconvexe, cum ar fi poliedrele stelate, atunci când se încearcă să se definească riguros această formă de dualitate poliedrică în termeni de polaritate proiectivă, apar diverse probleme. Datorită problemelor de definire a dualității geometrice a poliedrelor neconvexe, Grünbaum (2007) susține că orice definiție adecvată a unui poliedru neconvex ar trebui să includă o noțiune a poliedrului dual.

Bibliografie

• en Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (ed. 2nd), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 
• en Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, doi:10.1080/00207390500064049 
• en Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, În Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, pp. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487 .
• en Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445–463, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl:1773/2276 , MR 2287486 
• en Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey Colin (2013), „Duality of polyhedra”, În Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, pp. 211–216, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226 
• en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 
• en Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688 .

External links

• en Eric W. Weisstein, Dual polyhedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Dual tessellation la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Self-dual polyhedron la MathWorld.