Teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În trigonometria sferică, teorema cosinusului (numită și regula cosinusului pentru laturi[1]) este o teoremă referitoare la unghiurile și laturile unui triunghi sferic, lege analoagă teoremei cosinusului din geometria plană.

Triunghi sferic rezolvat cu ajutorul teoremei cosinusului.

Fiind dată o sferă de rază 1, un triunghi sferic pe suprafața sferei este definit de cercurile mari care conectează trei puncte A, B și C de pe sferă. Dacă lungimile laturilor triunghiului sferic sunt: a – de la B la C, b – de la A la C și c – de la A la B, iar unghiul opus laturii a este A, atunci teorema cosinusului pentru un triunghi sferic (pe care o vom demonstra mai jos) este dată de relația:[2][1]



care, prin permutări circulare se scrie și pentru celelalte două laturi:



Deoarece sfera are raza egală cu 1, lungimile a, b și c sunt egale cu unghiurile (în radiani) subîntinse de aceste laturi față de centrul sferei (pentru sfere care au raza ≠ 1, unghiurile sunt date de distanțele a, b și c împărțite la rază).

Ca un caz special, pentru avem și obținem analogul sferic al teoremei lui Pitagora:



O variație a teoremei cosinusului conduce la a doua teoremă a cosinusului pentru sferă,[3] (numită și regula cosinusului pentru unghiuri[1]) arătând că:



In care A și B sunt respectiv unghiurile din colțurile opuse laturilor a și b. Aceasta poate fi obținută prin considerarea triunghiului sferic dual celui dat.

Pentru triunghiuri sferice mici, adică unghiurile a, b și c sunt mici, teorema cosinusului pentru sferă este aproximativ egală cu cea a teoremei cosinusului din geometria plană:



Eroarea acestei aproximări poate fi obținută din dezvoltarea în serie Maclaurin pentru sinus și cosinus, și este de ordinul:



Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Triunghi sferic pentru demonstrarea teoremei cosinusului.

Fie triunghiul sferic ABC, O fiind centrul sferei de rază egală cu 1. Tangenta din punctul A la arcul AC întâlnește pe OC în E, iar tangenta din A la arcul AB întâlnește pe OB în D. Din această construcție rezultă că unghiul EAD este egal cu unghiul A din triunghiul sferic. De asemenea unghiul EOD dă măsura laturii a. Triunghiurile ADE și OED sunt plane și aplicând teorema lui Pitagora generalizată obținem:



Triunghiurile OAD și OAE sunt prin construcție dreptunghice și avem:



Substituind aceste relații în ecuația (2) și scăzând ecuația (2) din (1), obținem:



Împărțind cu , obținem:



Din care, în final, ținând cont că triunghiurile OAE și OAD sunt dreptunghice, obținem teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice:



care mai poate fi scrisă și sub forma:



Vezi și[modificare | modificare sursă]


Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b c W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
  2. ^ name=Ireneus>Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
  3. ^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft.. p. 83