Sari la conținut

Teorema Gauss–Bonnet

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală

[modificare | modificare sursă]

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie o regiune simplă și parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât

Fie vârfurile lui unghiurile exterioare corespunzătoare,

Atunci are loc formula:

unde este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui K este curbura gaussiană și este elementul de suprafață.

Demonstrație

[modificare | modificare sursă]

Fie (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

Utilizăm următoarele leme:

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe și unghiul dintre și X. Atunci:

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile și :

Atunci și, conform lemei 1,

Legături externe

[modificare | modificare sursă]