Teorema Gauss-Bonnet

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema Gauss-Bonnet, sau formula Gauss-Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală[modificare | modificare sursă]

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie o regiune simplă și parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât

Fie vârfurile lui unghiurile exterioare corespunzătoare,

Atunci are loc formula:

unde este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui K este curbura gaussiană și este elementul de suprafață.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1[modificare | modificare sursă]

Lema 2[modificare | modificare sursă]

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe și unghiul dintre și X. Atunci:

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile și :

Atunci și, conform lemei 1,

Legături externe[modificare | modificare sursă]