Teorema Gauss-Bonnet

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema Gauss-Bonnet, sau formula Gauss-Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală[modificare | modificare sursă]

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie R \subset h(U) \! o regiune simplă și \gamma : [0, l] \rightarrow S \! parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât \partial R = Im \gamma. \!

Fie \gamma (s_i) \! vârfurile lui \gamma, \theta_i \! unghiurile exterioare corespunzătoare, i=\overline { 0, k+1 }. \!

Atunci are loc formula:

\sum_{i=0}^k \int_{s_i}^{s_{i+1}} k_g (s) + \int \int_R K \; ds + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2 \pi \!

unde k_g \! este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui  \gamma , \! K este curbura gaussiană și  d \sigma\! este elementul de suprafață.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie X= \gamma'(s) \! (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit s} \bigg ]= \bigg [ \frac {\nabla \gamma' (s)}{d \mathit s} \bigg ] = k_g (s). \!

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1[modificare | modificare sursă]

\bigg [ \frac {\nabla Y}{dt}  \bigg ] - \bigg [ \frac {\nabla X}{dt}   \bigg ] = \frac {d \varphi}{dt} \!

Lema 2[modificare | modificare sursă]

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe \gamma \! și \varphi \! unghiul dintre h_1 \! și X. Atunci:

\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit t} \bigg ] = \frac {1}{2 \sqrt {g_{11} g_{22}}} \bigg \{ \frac {\partial g_{22}}{\partial u^1} \frac {du^2}{dt} - \frac {\partial g_{11}}{\partial u^2} \frac {du^1}{dt} \bigg \} + \frac {d \varphi}{dt} \!

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile h_1 \! și h_2 \!:

e_1 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{11}}}, \; e_2 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{22}}}. \!

Atunci e_1 \times e_2 = N \! și, conform lemei 1,

\bigg [ \frac{\nabla X}{dt}  \bigg ] = \bigg [ \frac {\nabla e_1}{dt}   \bigg ] + \frac {d \varphi}{dt} \!

Legături externe[modificare | modificare sursă]