Spațiu complet

În analiza matematică, un spațiu metric $(X,d)$ se numește complet dacă oricare șir Cauchy este convergent în X.

Intuitiv vorbind, completitudinea înseamnă că „nu lipsesc niciun punct” din spațiu. Spre exemplu, spațiul $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\,d)$, prevăzut cu distanța usuală $d(x,y)=|x-y|$, nu este complet pentru că punctul 0 „lipsește” din spațiu: prin urmare, există șiruri Cauchy precum $x_{n}=1/n$ care nu sunt convergente.

Mereu este posibil de a completa un spațiu prin un proces numit completare Cauchy. De pildă, un mod de a construi spațiul $\mathbb {R}$ al numerelor reale este prin completarea Cauchy a spațiului $\mathbb {Q}$ al numerelor raționale.

Noțiunea metrică de completitudine nu trebuie confundată cu noțiunea topologică de închidere.