Sigma-algebră

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

Definiție

Considerăm mulțimea $\Omega$. Notăm ${\mathcal {P}}(\Omega )$ mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci o submulțime ${\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {P}}(\Omega )$, i.e. ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază $\Omega \,$ este element al lui ${\mathcal {A}}$ :

$\Omega \in {\mathcal {A}}$ .

2. Dacă ${\mathcal {A}}$ conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia $A^{c}=\Omega \setminus A$ :

$A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}$

3. Dacă un număr infinit de mulțimi aparțin lui ${\mathcal {A}}$ , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui ${\mathcal {A}}$ :

$A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}\in {\mathcal {A}}$

Consecințe

• Din condițiile 1 și 2 rezultă:

$\emptyset \in {\mathcal {A}}$ .

• Dacă $A_{n}\in {\mathcal {A}}$ unde $n\in \mathbb {N}$ , atunci din legile lui De Morgan rezultă:

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}=\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{A^{\mathrm {c} }}\right)^{c}$ .

• De aici rezultă imediat că, dacă $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$ , atunci:

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}\in {\mathcal {A}}$ .

• Dacă $A,B\in {\mathcal {A}}$ atunci

$A\setminus B=A\cap B^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}$ .

Așadar, ${\mathcal {A}}$ este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

Exemple

• σ- algebră trivială (discretă):

${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ .

• σ - algebră grosieră:

${\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• Măsura Lebesgue
• Algebră boreliană

Legături externe

• en Sigma-algebră la Planetmath Arhivat în 13 februarie 2008, la Wayback Machine.
• fr Curs referitor la sigma-algebră Arhivat în 7 noiembrie 2010, la Wayback Machine.