Semigrup nul
În matematică, un semigrup nul este un semigrup cu un element absorbant, numit zero, în care produsul oricăror două elemente este zero.[1] Dacă fiecare element al unui semigrup este un zero la stânga, atunci semigrupul se numește semigrup nul la stânga; un semigrup nul la dreapta fiind definit analog.[2][3] Potrivit lui Clifford și Preston, „În ciuda trivialității lor, aceste semigrupuri apar în mod natural într-o serie de cercetări”.[1]
Table Cayley[modificare | modificare sursă]
Fie S un semigrup cu elementul zero 0. Atunci S se numește semigrup nul dacă pentru toate x și y din S.
Tabla Cayley pentru un semigrup nul[modificare | modificare sursă]
Fie S = {0, a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul. Atunci tabla Cayley(d) pentru S este prezentată mai jos:
| 0 | a | b | c | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 |
Semigrup nul la stânga[modificare | modificare sursă]
Un semigrup în care orice element este un element zero la stânga se numește semigrup nul la stânga.[2] Astfel, un semigrup S este un semigrup nul la stânga dacă pentru toate x și y din S.
Tabla Cayley pentru un semigrup nul la stânga[modificare | modificare sursă]
Fie S = {a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul la stânga. Atunci tabla Cayley pentru S este prezentată mai jos:
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | a | a | a |
| b | b | b | b |
| c | c | c | c |
Semigrup nul la dreapta[modificare | modificare sursă]
Un semigrup în care orice element este un element zero la dreapta se numește semigrup nul la dreapta.[2] Astfel, un semigrup S este un semigrup nul la dreapta dacă pentru toate x și y din S.
Tabla Cayley pentru un semigrup nul la dreapta[modificare | modificare sursă]
Fie S = {a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul la dreapta. Atunci tabla Cayley pentru S este prezentată mai jos:
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | a | b | c |
| b | a | b | c |
| c | a | b | c |
Proprietăți[modificare | modificare sursă]
Un semigrup nul netrivial (la stânga / la dreapta / zero) nu conține un element neutru. Rezultă că singurul monoid nul (la stânga / la dreapta / zero) este monoidul trivial.
Clasa semigrupurilor nule este:
- închisă pentru subsemigrupuri;
- închisă pentru câturi ale subsemigrupurilor;
- închisă pentru produse directe(d) arbitrare.
Rezultă că clasa semigrupurilor nule (la stânga / la dreapta / zero) este o varietate din algebra universală(d), și astfel o varietate de semigrupuri finite(d). Varietatea semigrupurilor nule finite este definită de identitatea .
Note[modificare | modificare sursă]
- ^ a b en A H Clifford; G B Preston (). The algebraic theory of semigroups Vol I. mathematical Surveys. 1 (ed. 2). American Mathematical Society. pp. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4.
- ^ a b c Adina Pop, Contribuții la teoria (n, m)-semiinelelor și n−semigrupurilor (teză de doctorat, 2014, p. 25), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-10-07
- ^ en M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN: 3-11-015248-7, p. 19
