Teoremele lui Kirchhoff

Legile lui Kirchhoff exprimă modul de conservare a energiei electrice într-un circuit electric. Au fost enunțate și dezvoltate de fizicianul german Gustav Robert Kirchhoff. Aceste teoreme se aplică în cazul rețelelor (circuitelor) electrice în curent continuu. O rețea electrică (circuit electric) e compusă din: ramuri de rețea (circuit), noduri de rețea (circuit) și ochiuri de rețea (circuit).

• Nod de rețea: reprezintă locul unde se întâlnesc cel puțin 3 conductoare ramuri (laturi) de rețea.
• O ramură de rețea reprezintă o distanță unilaterală conductoare dintre 2 noduri sucesive.
• Ochi de rețea: reprezintă un traseu închis, incluzând cel puțin două noduri, format de laturi de rețea pornind dintr-un nod și întorcându-se în același nod.

Prima lege a lui Kirchhoff

Suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților care ies din același nod. i₁ + i₄ = i₂ + i₃

Prima lege a lui Kirchhoff (sau „legea nodurilor”) este o expresie a conservării sarcinii electrice într-un nod al unei rețele electrice. Conform acestei legi, suma intensităților curenților (continui) care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților care ies din același nod.

Este evident că sarcina electrică totală ce intră într-un nod de rețea trebuie să fie egală cu sarcina electrică ce iese din acel nod:

$Q_1+Q_4 = Q_2+Q_3$

Mișcarea sarcinilor electrice (ce intră și ies) efectuându-se în același timp (simultan), se poate scrie:

$i_1+i_4 = i_2+i_3$,

adică: suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților (de curent continuu) care ies din același nod.

sau, altfel spus:

$i_1+i_4-i_2-i_3 = 0$

adică: suma algebrică a intensităților curenților electrici care se întâlnesc într-un nod de rețea este egală cu zero.

$\sum {i}_k = 0$

Suma algebrică a tuturor căderilor de tensiune dintr-un ochi de rețea este egală cu zero. v₁ + v₂ + v₃ - v₄ = 0

A doua lege a lui Kirchhoff

A doua lege a lui Kirchhoff se referă la ochiuri de rețea și afirmă:

De-a lungul conturului unui ochi de rețea, suma algebrica a tensiunilor electromotoare ale surselor este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curenților și rezistența totală de pe fiecare latură.

$\sum E_n = \sum R_n I_n$

sau

$v_1+v_2+v_3 = v_4$

$v_1+v_2+v_3-v_4 = 0$

adică: suma algebrică a tensiunilor de-a lungul oricărui ochi de circuit este nulă.

$\sum V_n = 0$

Importanță

Într-o rețea electrică se poate calcula căderea de potențial la bornele fiecărui rezistor și intensitatea curentului continuu în fiecare ramură (latură) de circuit aplicând cele două legi ale lui Kirchhoff: legea nodurilor și legea ochiurilor.

Exemplu de calcul

Se dă circuitul din figură, unde se cunosc valorile rezistențelor r₁ = r₄ = 38 Ω, r₂ = r₃ = 8 Ω, R = 10 Ω și valoarea curentului I = 10 A, cu sensul din figură. Se cere determinarea:

• valorii forței electromotoare E și a sensului ei;
• curenților care trec prin rezistențele r₁, r₂, r₃, r₄, și r.

Rezolvare

Folosind prima lege a lui Kirchhoff se obține:

• (nodul A):   $I= i_1 + i_2$
• (nodul B):   $I= i_3 + i_4$
• (nodul C):   $i_1= i + i_3$

Cu ajutorul celei de-a doua legi a lui kirchhoff se obține:

• (circuitul ADBEA):   $E-RI- r_2 i_2 - r_4 i_4 =0.$
• (circuitul ACDA):   $- r_1 i_1 - r i + r_2 i_2 =0.$
• (circuitul BCDB):   $r_3 i_3 - r i - r_4 i_4 =0.$

Eliminând i₂ și i₄, se obține sistemul de 4 ecuații cu 4 necunoscute:

$\begin{cases} i - i_1 + i_3 = 0 \\ E + 8 i_1 +38 i_3 = 560 \\ 2i + 46 i_2 = 80 \\ 2i - 46 i_3 = -380 \end{cases}$

Rezolvând sistemul, se obține:

$E = 240 V, \; i= -6A, \; i_1 = 2A, \; i_3=8A, \; i_2 = 8A, \; i_4 = 2A.$

Vezi și

• Analiză nodală
• Circuit electric