Teoremele lui Kirchhoff

Legile lui Kirchhoff exprimă modul de conservare a energiei electrice într-un circuit electric. Au fost enunțate și dezvoltate de fizicianul german Gustav Robert Kirchhoff. Aceste teoreme se aplică în cazul rețelelor (circuitelor) electrice în curent continuu. O rețea electrică (circuit electric) e compusă din: ramuri de rețea (circuit), noduri de rețea (circuit) și ochiuri de rețea (circuit).

• Nod de rețea: reprezintă locul unde se întâlnesc cel puțin 3 conductoare ramuri (laturi) de rețea.
• O ramură de rețea reprezintă o distanță unilaterală conductoare dintre 2 noduri succesive.
• Ochi de rețea: reprezintă un traseu închis, incluzând cel puțin două noduri, format de laturi de rețea pornind dintr-un nod și întorcându-se în același nod.

Prima lege a lui Kirchhoff

Suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților care ies din același nod. i₁ + i₄ = i₂ + i₃

Prima lege a lui Kirchhoff (sau „legea nodurilor”) este o expresie a conservării sarcinii electrice într-un nod al unei rețele electrice. Conform acestei legi, suma intensităților curenților (continui) care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților care ies din același nod.

Este evident că sarcina electrică totală ce intră într-un nod de rețea trebuie să fie egală cu sarcina electrică ce iese din acel nod:

$Q_{1}+Q_{4}=Q_{2}+Q_{3}$$Q_{1}+Q_{4}=Q_{2}+Q_{3}$

Mișcarea sarcinilor electrice (ce intră și ies) efectuându-se în același timp (simultan), se poate scrie:

$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$,

adică: suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților (de curent continuu) care ies din același nod.

sau, altfel spus:

$i_{1}+i_{4}-i_{2}-i_{3}=0$$i_{1}+i_{4}-i_{2}-i_{3}=0$

adică: suma algebrică a intensităților curenților electrici care se întâlnesc într-un nod de rețea este egală cu zero.

$\sum {i}_{k}=0$$\sum {i}_{k}=0$

Suma algebrică a tuturor căderilor de tensiune dintr-un ochi de rețea este egală cu zero. v₁ + v₂ + v₃ - v₄ = 0

A doua lege a lui Kirchhoff

A doua lege a lui Kirchhoff se referă la ochiuri de rețea și afirmă:

De-a lungul conturului unui ochi de rețea, suma algebrica a tensiunilor electromotoare ale surselor este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curenților și rezistența totală de pe fiecare latură.

$\sum E_{n}=\sum R_{n}I_{n}$$\sum E_{n}=\sum R_{n}I_{n}$

sau

$v_{1}+v_{2}+v_{3}=v_{4}$$v_{1}+v_{2}+v_{3}=v_{4}$

$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$

adică: suma algebrică a tensiunilor de-a lungul oricărui ochi de circuit este nulă.

$\sum V_{n}=0$$\sum V_{n}=0$

Importanță

Într-o rețea electrică se poate calcula căderea de potențial la bornele fiecărui rezistor și intensitatea curentului continuu în fiecare ramură (latură) de circuit aplicând cele două legi ale lui Kirchhoff: legea nodurilor și legea ochiurilor.

Exemplu de calcul

Se dă circuitul din figură, unde se cunosc valorile rezistențelor r₁ = r₄ = 38 Ω, r₂ = r₃ = 8 Ω, R = 10 Ω și valoarea curentului I = 10 A, cu sensul din figură. Se cere determinarea:

• valorii forței electromotoare E și a sensului ei;
• curenților care trec prin rezistențele r₁, r₂, r₃, r₄, și r.

Rezolvare

Folosind prima lege a lui Kirchhoff se obține:

• (nodul A):   $I=i_{1}+i_{2}$$I=i_{1}+i_{2}$
• (nodul B):   $I=i_{3}+i_{4}$$I=i_{3}+i_{4}$
• (nodul C):   $i_{1}=i+i_{3}$$i_{1}=i+i_{3}$

Cu ajutorul celei de-a doua legi a lui kirchhoff se obține:

• (circuitul ADBEA):   $E-RI-r_{2}i_{2}-r_{4}i_{4}=0.$$E-RI-r_{2}i_{2}-r_{4}i_{4}=0.$
• (circuitul ACDA):   $-r_{1}i_{1}-ri+r_{2}i_{2}=0.$$-r_{1}i_{1}-ri+r_{2}i_{2}=0.$
• (circuitul BCDB):   $r_{3}i_{3}-ri+r_{4}i_{4}=0.$$r_{3}i_{3}-ri+r_{4}i_{4}=0.$

Eliminând i₂ și i₄, se obține sistemul de 4 ecuații cu 4 necunoscute:

${\begin{cases}i-i_{1}+i_{3}=0\\E+8i_{1}+38i_{3}=560\\2i+46i_{2}=80\\2i-46i_{3}=-380\end{cases}}$${\begin{cases}i-i_{1}+i_{3}=0\\E+8i_{1}+38i_{3}=560\\2i+46i_{2}=80\\2i-46i_{3}=-380\end{cases}}$

Rezolvând sistemul, se obține:

$E=240V,\;i=-6A,\;i_{1}=2A,\;i_{3}=8A,\;i_{2}=8A,\;i_{4}=2A.$$E=240V,\;i=-6A,\;i_{1}=2A,\;i_{3}=8A,\;i_{2}=8A,\;i_{4}=2A.$

Vezi și

• Analiză nodală
• Circuit electric