Legea numerelor mari

O ilustrare a legii numerelor mari folosind o anumită serie de aruncări ale unui singur zar. Pe măsură ce numărul de aruncări din această serie crește, media valorilor tuturor rezultatelor se apropie de 3,5. Deși fiecare serie ar arăta o formă distinctă după un număr mic de aruncări (în stânga), după un număr mare de aruncări (în dreapta), formele ar fi extrem de similare.

Legea numerelor mari este o teoremă din teoria probabilităților care descrie comportamentul rezultatelor unui experiment repetat de un număr mare de ori. Conform acestei legi, media valorilor observate tinde să se apropie de valoarea așteptată a variabilei aleatoare, pe măsură ce numărul de repetări crește. Fenomenul se explică prin compensarea abaterilor întâmplătoare în timp.

Teorema a fost demonstrată pentru prima dată de Jakob Bernoulli și este considerată una dintre bazele teoriei probabilităților ca disciplină științifică.

Istoric

Simulare care ilustrează legea numerelor mari. În fiecare cadru, se întoarce o monedă roșie pe o parte și albastră pe cealaltă, iar în coloana corespunzătoare se adaugă un punct. O diagramă circulară arată proporția de roșu și albastru până în prezent. Observați că, deși proporția variază semnificativ la început, se apropie de 50% pe măsură ce numărul de încercări crește.

Matematicianul italian Girolamo Cardano (1501–1576) a afirmat fără dovezi că acuratețea statisticilor empirice tinde să crească odată cu numărul de încercări. Această afirmație a fost apoi formalizată ca o lege a numerelor mari. O formă specială a legii numerelor mari (pentru o variabilă aleatoare binară) a fost demonstrată pentru prima dată de Jakob Bernoulli. Acestuia i-au trebuit peste 20 de ani pentru a dezvolta o demonstrație matematică suficient de riguroasă pe care a publicat-o în lucrarea sa Ars Conjectandi (Arta conjecturii) în 1713. El a numit-o „teorema sa de aur”, dar a devenit cunoscută drept „teorema lui Bernoulli”. Aceasta nu trebuie confundată cu principiul lui Bernoulli, numit după nepotul lui Jakob, Daniel Bernoulli. În 1837, S. D. Poisson a descris-o mai departe sub denumirea de „legea numerelor mari” (franceză la loi des grands nombres). Ulterior, a fost cunoscută sub ambele denumiri, dar cea de „legea numerelor mari” este utilizată cel mai frecvent.

După ce Bernoulli și Poisson și-au publicat lucrările, și alți matematicieni au contribuit la rafinarea legii, printre care Pafnuti Cebîșev, Andrei Markov, Émile Borel, Francesco Cantelli, Andrei Kolmogorov și Aleksandr Hinchin. Markov a arătat că legea se poate aplica unei variabile aleatoare care nu are varianță finită, sub anumite ipoteze mai slabe, iar Hinchin a demonstrat în 1929 că, dacă seria este formată din variabile aleatoare independente și identic distribuite, este suficient ca valoarea așteptată să existe pentru ca forma slabă a legii numerelor mari să fie adevărată. Aceste studii ulterioare au dat naștere la două forme importante ale legii numerelor mari. Una se numește „legea slabă”, iar cealaltă „legea puternică”, referindu-se la două moduri diferite de convergență a mediilor cumulative ale eșantionului către valoarea așteptată. Forma puternică implică forma slabă.

Formulare matematică

Se studiază apariția unui eveniment A pentru care se efectuează n experimente independente. Dacă pentru fiecare experiment probabilitatea pentru care are loc A este p, se pune problema prevederii frecvenței relative cu care are loc evenimentul A în aceste experimente.

Teorema lui Bernoulli

Dacă se efectuează n experimente independente, în fiecare experiment probabilitatea evenimentului A fiind p, cu $\nu \!$ notăm numărul de apariții al evenimentului A iar ε>0 este un număr arbitrar de mic, atunci:

$\lim _{n\to \infty }p{\bigg (}{\bigg |}{\frac {\nu }{n}}-p|<\varepsilon {\bigg )}=1.\!$

adică dacă un experiment se repetă de un număr suficient de mare de ori, în condiții identice, atunci frecvența relativă este stabilă, adică variază în jurul probabilității.

Demonstrație

Efectuând cele n experimente, se obțin repartițiile:

${\displaystyle X_{1}\$ :{\begin{pmatrix}1&0\\p&q\end{pmatrix}},\;X_{2}\ :{\begin{pmatrix}1&0\\p&q\end{pmatrix}},\ldots ,X_{n}\ :{\begin{pmatrix}1&0\\p&q\end{pmatrix}}.}

unde $p+q=1.\!$

Se aplică rezultatele de la repartiția Bernoulli:

$M(X_{1})=M(X_{2})=\ldots =M(X_{n})=p.\!$

și

$D^{2}(X_{1})=D^{2}(X_{2})=\ldots =D^{2}(X_{n})=p\cdot q.\!$

Cum:

$p\cdot q\leq {\frac {1}{4}}\!$

adică produsul a doi factori de sumă constantă este maxim atunci când factorii sunt egali. În cazul de față $p+q=1\!$ și maximul produsului $p\cdot q\!$ se obține pentru $p=q={\frac {1}{2}}.\!$

Se aplică teorema lui Cebîșev variabilelor aleatoare ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\$ :\!}

$\lim _{n\to \infty }P{\bigg (}{\bigg |}{\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}-p{\bigg |}<\varepsilon {\bigg )}=1.\!$

deci:

$\lim _{n\to \infty }P{\bigg (}{\bigg |}{\frac {\nu }{n}}-p{\bigg |}<\varepsilon {\bigg )}=1\!$

și aceasta deoarece:

$X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}=\nu .\!$

Legături externe

• Wolfram MathWorld