Geodezică închisă

În geometria diferențială o geodezică închisă pe o varietate riemanniană^⁠(d) este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în spațiul tangent^⁠(d) al varietății.

Definiție

Într-o varietate riemanniană (M,g), o geodezică închisă este o curbă $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ care este o geodezică în metrica g și este periodică.

Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu $\Lambda M$ spațiul curbelor netede 1-periodice pe M, geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai punctele critice^⁠(d) ale funcției de energie $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$, definită de

$E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.$

Dacă $\gamma$ este o geodezică închisă a perioadei p, curba reparametrizată $t\mapsto \gamma (pt)$ este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui E. Dacă $\gamma$ este un punct critic al lui E, la fel sunt curbele reparametrizate $\gamma ^{m},$ pentru fiecare $m\in \mathbb {N} ,$ definit de $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt).$ Astfel, fiecare geodezică închisă pe M dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei E.

Exemple

Pe sfera unitate $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice. Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o suprafață^⁠(d) hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are torsiune^⁠(d), geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu clasele de conjugare^⁠(d) netriviale de elemente din grupul fuchsian^⁠(d) al suprafeței.

Bibliografie

• en Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978