Sari la conținut

Evolventă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Două evolvente (cu roșu) ale unei parabole

În matematică o evolventă este un tip de curbă care depinde de o altă formă sau curbă. Intuitiv, o evolventă a unei curbe este locul geometric al unui punct aflat pe o sfoară întinsă care este desfășurată de pe curbă sau înfășurată pe curbă.[1]

Este o clasă de curbe din familia de curbe ruletă.

Evoluta unei evolvente este curba inițială.

Noțiunile de evolventă și evolută ale unei curbe au fost introduse de Christiaan Huygens în lucrarea sa din 1673, Horologium Oscillatorium⁠(d).[2]

Evolventa unei curbe parametrice

[modificare | modificare sursă]

Fie o curbă regulată plană la care curbura nu este 0 nicăieri și . Atunci, curba cu reprezentarea parametrică

este o evolventă a curbei date.

Adăugarea unui număr arbitrar, dar fix, a, la integrala are ca rezultat o evolventă corespunzând unei distanțe mărite cu a (ca un ghem de lână cu o bucată de fir atârnând înainte de a fi desfășurat).

Dacă se obține

Proprietățile evolventelor

[modificare | modificare sursă]
Evolvente; unghiurile marcate au 90°

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească lungimea arcului⁠(d) drept parametru al curbei date, ceea ce duce la următoarele simplificări: și , cu curbura și versorul normal. Pentru evolventă de obține:

și

și propozițiile:

  • în punctul evolventa este neregulată (deoarece ),

iar din rezultă:

  • normala evolventei în punctul este tangenta curbei date în punctul ;
  • evolventele sunt curbe paralele, deoarece și este versorul normal la .

Evolventa unui cerc

[modificare | modificare sursă]
Evolventa unui cerc

Pentru un cerc cu reprezentarea parametrică avem

,

deoarece , iar lungimea căii este .

Evaluând ecuația dată de mai sus a evolventei, pentru ecuația parametrică a evolventei cercului se obține

.

Termenul este opțional; el servește la definirea punctului de început al curbei pe cerc. Figura prezintă evolvente pentru (verde), (roșu), (violet) și (albastru deschis). Evolventele seamănă cu spiralele arhimedice, dar nu sunt.

Lungimea arcului pentru și a unei evolvente este

Evolventa unei curbe lănțișor

[modificare | modificare sursă]

Pentru o curbă lănțișor⁠(d) , vectorul tangent este , și deoarece lungimea sa este . Astfel, lungimea arcului de la punctul (0, 1) este

Deoarece forma parametrică a evolventei din (0, 1) este

evolventa este o tractrice⁠(d).

Alte evolvente, paralele cu tractricea, nu sunt și ele tractrice.

Evolventa unei cicloide

[modificare | modificare sursă]
Evolvente ale unei cicloide (cu albastru): doar curba roșie este o (altă) cicloidă

Reprezentarea parametrică descrie o cicloidă. Din se obține (folosind relații trigonometrice)

și

Prin urmare, ecuațiile evolventei corespunzătoare sunt

care descriu cicloida roșie din imagine, translație a celei albastre. Prin urmare evolventele unei cicloide sunt curbe paralele cu cicloida, dar, cu excepția celei roșii, nu sunt ele însele cicloide.

Imagine indisponibilă Imagine indisponibilă
Tractricea (cu roșu) este evolventa lănțișorului
Evoluta tractricei este o curbă lănțișor

Evolventă și evolută

[modificare | modificare sursă]

Între evolventă și evolută este valabilă afirmația: o curbă este evoluta oricărei evolvente ale sale.[3][4]

Proprietățile evolventei o fac extrem de importantă pentru domeniul roților dințate: dacă două roți dințate angrenate au dinții cu profil în evolventă, vitezele lor de rotație relative sunt constante cât timp dinții sunt în contact. Aceste angrenaje fac întotdeauna contact de-a lungul unei linii de forță constantă. Cu dinți de alte forme, vitezele și forțele relative cresc și scad pe măsură ce dinții succesivi se cuplează, rezultând vibrații, zgomot și uzură excesivă. Din acest motiv, aproape toate roțile dințate moderne au dinții în evolventă.[5]

Mecanismul unui compresor cu spirală

Evolventa unui cerc este forma pieselor unui compresor cu spirală⁠(d). Compresoarele cu spirală au randamente termodinamice și mecanice bune și un mers liniștit.

Unele schimbătoare de căldură folosesc elemente în formă de evolventă deoarece secțiunile de curgere rămân constante.

  1. ^ en Rutter, J.W. (). Geometry of Curves. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667. 
  2. ^ en McCleary, John (). Geometry from a Differentiable ViewpointAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Cambridge University Press. pp. 89. ISBN 9780521116077. 
  3. ^ de K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,ISBN: 3834883468, S. 30.
  4. ^ de R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
  5. ^ en V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

Legături externe

[modificare | modificare sursă]