Evolută

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Evoluta parabolei (cu albastru) este locul geometric al centrelor de curbură ale sale (cu roșu)
Evoluta acestei elipse este anvelopa normalelor la ea

În geometria diferențială a curbelor, evoluta unei curbe este locul geometric al tuturor centrelor de curbură. Adică, atunci când se trasează centrul de curbură al fiecărui punct de pe o curbă, forma rezultată va fi evoluta acelei curbe. Prin urmare, evoluta unui cerc este un singur punct, centrul său.[1] Echivalent, o evolută este anvelopa normalelor la o curbă.

Evolutele sunt strâns legate de evolvente: o curbă este evoluta oricărei evolvente a sa.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Apoloniu din Perga (c. 200 î.Hr.) a discutat despre evolute în Cartea a V-a din Koniká (Conice). Totuși, Christiaan Huygens este uneori considerat că a fost primul care le-a studiat (1673). Huygens și-a formulat teoria evolutelor cândva în jurul anului 1659 pentru a ajuta la rezolvarea problemei găsirii curbei tautocrone, care, la rândul ei, l-a ajutat să construiască un pendul izocron. Acest lucru se datorează faptului că curba tautocronă este o cicloidă, iar cicloida are proprietatea unică că evoluta sa este și ea o cicloidă. Teoria evolutelor i-a permis lui Huygens să obțină multe rezultate care vor fi găsite ulterior folosind calculul infinitezimal.[2]

Evoluta unei curbe parametrice[modificare | modificare sursă]

Dacă este reprezentarea parametrică a unei curbe regulate în plan cu curbura nenulă peste tot, cu raza de curbură și versorul normal îndreptată spre centrul de curbură, atunci

descrie evoluta curbei date.

Pentru și se obține

și

.

Proprietățile evolutei[modificare | modificare sursă]

Normala în punctul P este tangenta în centrul de curbură C

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească lungimea arcului⁠(d) al curbei date ca parametru, din cauza și (v. formulele Frenet–Serret). Prin urmare, vectorul tangent al evolutei este:

Din această ecuație se obțin următoarele proprietăți ale evolutei:

  • În punctele cu evoluta este neregulată. Asta înseamnă că în punctele cu curbură maximă sau minimă (vârfuri ale curbei date) evoluta are puncte de întoarcere. (V. sus evoluta unei elipse.)
  • Pentru orice arc al evolutei care nu are un punct de întoarcere lungimea arcului este egală cu diferența dintre razele de curbură de la capetele sale. Acest fapt duce la o demonstrație ușoară a teoremei Tait–Kneser⁠(d) privind imbricarea cercurilor osculatoare.[3]
  • Normalele curbei date în puncte de curbură diferită de zero sunt tangente la evolută, iar normalele curbei în punctele de curbură zero sunt asimptote ale evolutei. Prin urmare: evoluta este anvelopa normalelor curbei date.
  • La secțiunile curbei cu sau , curba este o evolventă a evolutei sale. (În imagine: parabola albastră este o evolventă a parabolei roșii semicubice, care este evoluta parabolei albastre.)
  • Curbele paralele au aceeași evolută.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Evoluta unei parabole[modificare | modificare sursă]

Pentru parabola cu reprezentarea parametrică din formulele de mai sus se obțin ecuațiile:

care reprezintă o parabolă semicubică.

Evoluta (cu roșu a) unei elipse

Evoluta unei elipse[modificare | modificare sursă]

Pentru elipsa cu reprezentarea parametrică se obține:[4]

Acestea sunt ecuațiile unei astroide nesimetrice. Eliminarea parametrului duce la reprezentarea implicită

O cicloidă (cu albastru), cercul său osculator (cu roșu) și evoluta sa (cu verde)

Evoluta unei cicloide[modificare | modificare sursă]

Pentru cicloida cu reprezentarea parametrică evoluta va fi:[5]

care este o copie a ei însăși.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Circle Evolute la MathWorld.
  2. ^ en Yoder, Joella G. (). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. Cambridge University Press. 
  3. ^ en Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (). „Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem”. The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662Accesibil gratuit. doi:10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. 
  4. ^ de R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Cycloid Evolute la MathWorld.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]