Evolută

Evoluta parabolei (cu albastru) este locul geometric al centrelor de curbură ale sale (cu roșu)

Evoluta acestei elipse este anvelopa normalelor la ea

În geometria diferențială a curbelor, evoluta unei curbe este locul geometric al tuturor centrelor de curbură. Adică, atunci când se trasează centrul de curbură al fiecărui punct de pe o curbă, forma rezultată va fi evoluta acelei curbe. Prin urmare, evoluta unui cerc este un singur punct, centrul său. Echivalent, o evolută este anvelopa normalelor la o curbă.

Evolutele sunt strâns legate de evolvente: o curbă este evoluta oricărei evolvente a sa.

Istoric

Apoloniu din Perga (c. 200 î.Hr.) a discutat despre evolute în Cartea a V-a din Koniká (Conice). Totuși, Christiaan Huygens este uneori considerat că a fost primul care le-a studiat (1673). Huygens și-a formulat teoria evolutelor cândva în jurul anului 1659 pentru a ajuta la rezolvarea problemei găsirii curbei tautocrone, care, la rândul ei, l-a ajutat să construiască un pendul izocron. Acest lucru se datorează faptului că curba tautocronă este o cicloidă, iar cicloida are proprietatea unică că evoluta sa este și ea o cicloidă. Teoria evolutelor i-a permis lui Huygens să obțină multe rezultate care vor fi găsite ulterior folosind calculul infinitezimal.

Evoluta unei curbe parametrice

Dacă ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ este reprezentarea parametrică a unei curbe regulate în plan cu curbura nenulă peste tot, cu $\rho (t)$ raza de curbură și ${\vec {n}}(t)$ versorul normal îndreptată spre centrul de curbură, atunci

${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$

descrie evoluta curbei date.

Pentru ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ și ${\vec {E}}=(X,Y)^{T}$ se obține

$\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad$

și

$\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}$.

Proprietățile evolutei

Normala în punctul P este tangenta în centrul de curbură C

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească lungimea arcului^⁠(d) $s$ al curbei date ca parametru, din cauza $\;|{\vec {c}}'|=1\;$ și $\;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;$ (v. formulele Frenet–Serret). Prin urmare, vectorul tangent al evolutei $\;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;$ este:

${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .$

Din această ecuație se obțin următoarele proprietăți ale evolutei:

• În punctele cu $\rho '=0$ evoluta este neregulată. Asta înseamnă că în punctele cu curbură maximă sau minimă (vârfuri ale curbei date) evoluta are puncte de întoarcere. (V. sus evoluta unei elipse.)
• Pentru orice arc al evolutei care nu are un punct de întoarcere lungimea arcului este egală cu diferența dintre razele de curbură de la capetele sale. Acest fapt duce la o demonstrație ușoară a teoremei Tait–Kneser^⁠(d) privind imbricarea cercurilor osculatoare.
• Normalele curbei date în puncte de curbură diferită de zero sunt tangente la evolută, iar normalele curbei în punctele de curbură zero sunt asimptote ale evolutei. Prin urmare: evoluta este anvelopa normalelor curbei date.
• La secțiunile curbei cu $\rho '>0$ sau $\rho '<0$, curba este o evolventă a evolutei sale. (În imagine: parabola albastră este o evolventă a parabolei roșii semicubice, care este evoluta parabolei albastre.)
• Curbele paralele au aceeași evolută.

Exemple

Evoluta unei parabole

Pentru parabola cu reprezentarea parametrică $(t,t^{2})$ din formulele de mai sus se obțin ecuațiile:

$X=\cdots =-4t^{3}$

$Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,$

care reprezintă o parabolă semicubică.

Evoluta (cu roșu a) unei elipse

Evoluta unei elipse

Pentru elipsa cu reprezentarea parametrică $(a\cos t,b\sin t)$ se obține:

$X={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t$

$Y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\,.$

Acestea sunt ecuațiile unei astroide nesimetrice. Eliminarea parametrului $t$ duce la reprezentarea implicită

$(aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .$

O cicloidă (cu albastru), cercul său osculator (cu roșu) și evoluta sa (cu verde)

Evoluta unei cicloide

Pentru cicloida cu reprezentarea parametrică $(r(t-\sin t),\,r(1-\cos t))$ evoluta va fi:

$X=\cdots =r(t+\sin t)$

$Y=\cdots =r(\cos t-1)$

care este o copie a ei însăși.

Bibliografie

• en Eric W. Weisstein, Evolute la MathWorld.
• en Sokolov, D.D. (2001), „Evolute”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• en Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• en Evolute on 2d curves.