Discuție:Număr real

	Articolul Număr real este un subiect de care se ocupă Proiectul Matematică, o inițiativă de a construi o listă cuprinzătoare și detaliată cu informații despre matematică Dacă doriți să participați la acest proiect, vă rugăm să vă înscrieți aici.
Ciot	Acest articol a fost evaluat ca făcând parte din grupa Ciot pe scala de calitate.
Neclasificat	Acest articol încă nu a fost evaluat pe scala de importanță.

Relația cu numerele raționale

Să explice cineva dacă numerele raționale sunt sau nu sunt reale. Dacă sunt reale atunci formularea: „Ultima proprietate diferențiază numerele reale de cele raționale.” este greșită. ← Acest comentariu nesemnat a fost adăugat de 212.93.138.106 (discuție• contribuții).

Toate numerele raționale sunt reale, dar nu toate numerele reale sunt raționale. Mulțimea Q (mulțimea numerelor raționale) este o submulțime a mulțimii R (cea a numerelor reale), așa că, după părerea mea, propoziția despre care vorbiți este corectă deoarece R ≠ Q. --Mocu 19 iunie 2007 11:41 (EEST)

Dacă toate numerele raționale sunt reale cum poate ceva să le diferențieze? Numerele reale se deosebesc doar față de numerele imaginare (sau complexe). Toate numerele, care nu sunt complexe, sau imaginare, sunt reale. Prin urmare propoziția nu cred că este corectă. Dacă mărul face parte din regnul vegetal, cum se poate spune că mărul este diferit de regnul vegetal?

Propun: „Ultima proprietate distinge numerele raționale în cadrul numerelor reale.”

Este vorba de o diferență de princicpiu între mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor raționale, nu între numerele propriu-zise. Propoziția aceea vrea să spună că Q nu are o anumită proprietate pe care o are R. Exemplul dat arată că în Q nu există un supremum (cea mai mică limită superioară) pentru numerele al căror pătrat e mai mic decît 2 (acesta ar fi ${\sqrt {2}}$, dar nu este accesibil în Q). În schimb mulțumea R are această proprietate.

Sînt de acord că formularea nu e grozavă, dar nu știu cum s-o dreg. Văd că și în engleză e la fel: [1] — AdiJapan ☎ 19 iunie 2007 13:03 (EEST)

Să nu ne lăsăm răpuși de limba engleză și să vedem cum facem să fie corect. Eu am propus ceva, pentru că și numerele raționale sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Numele raționale, ca și numerele naturale, întregi etc., se disting prin ceva unele față de altele, dar nu față de ceea ce înseamnă, prin definiție, un număr real. Caracteristica numerelor reale este o caracteristică pentru toate numerele, așa zis reale.

Am reformulat afirmația.

Numerele raționale nu sînt în corespondență 1 la 1 cu punctele de pe axa numerelor; bunăoară punctul de la poziția π nu corespunde nici unui număr rațional.

Ideea acelei afirmații este, repet, nu de a compara proprietățile numerelor, ci ale mulțimilor lor. — AdiJapan ☎ 19 iunie 2007 13:48 (EEST)

Nu cred că e bine nici așa pentru că mulțimea numerelor raționale este inclusă în mulțimea numerelor reale. Pe de altă parte cred că se poate face o corespondență directă între orice număr rațional, de exemplu, și oricare număr real, de unu la unu. Nu sunt mai puține numere raționale decât toate numerele reale. Tot o infinitate sunt. Dacă ar fi altfel ar trebui să știm cum stau două puncte lipite unul lângă altul. Nu putem face o corespondență directă între toate punctele de pe o dreaptă și toate punctele dintr-un plan. Cuvântul: „diferențiază”, nu merge. Pi este transcendent dar nu este mai real decât orice număr rațional sau irațional. Toate sunt reale.

Relația de incluziune nu ne interesează aici. Afirmația aceea doar arată că există cel puțin o proprietate care deosebește R și Q. O parte din celelalte afirmații pe care le faceți sînt evident greșite. Nici eu nu sînt specialist, dar vă pot asigura că:

• Sînt mai puține numere raționale decît reale. Cardinalul lui R este alef 1 (infinit continuu), iar al lui Q este alef 0 (infinit numărabil). Q are la fel de multe elemente ca N (se poate stabili o bijecție între ele). În schimb I și R au același cardinal. Se poate spune deci că R este format aproape în totalitate din numere iraționale.
• Poate surprinzător, R și Rⁿ au același cardinal. În consecință se poate stabili o corespondență unu la unu între dreaptă și plan.

Cuvîntul „diferențiază” ar fi într-adevăr greșit dacă s-ar referi la numere. Dar se referă la mulțimi. Am tot spus asta, dar fără succes. În orice caz, secțiunea de care vorbim este o definiție axiomatică a mulțimii numerelor reale. Dacă din definiție ar lipsi ultima condiție ar rezulta că numerele raționale formează, singure, mulțimea numerelor reale, ceea ce ar fi evident greșit. — AdiJapan ☎ 19 iunie 2007 20:17 (EEST)

„Sunt mai puține numere raționale decât reale.”, spuneți dvs. Această afirmație conține o contradicție deoarece toate numerele care nu sunt complexe, sau imaginare, sunt reale. Diferența o face altceva: în mulțimea numerelor reale există submulțimea numerelor numărabile și mulțimea numerelor nenumărabile, sau transfinite. Numerele naturale, întregi și cele raționale constituie submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Numerele iraționale și transcendentale sunt transfinite. Alef zero se referă la infinitatea numerelor numărabile. Alef 1 se referă la infinitatea numerelor transfinite iar Alef 2 se referă la mulțimea tuturor curbelor. Toate sunt infinite dar unele au un rang mai mare. Mulțimea numerele transfinite, cuprinsă în mulțimea numerelor reale are un grad mai mare. Poate că ar merge ceva de genul: „Ultima proprietate diferențiază numerele iraționale de numerele raționale.”

Am folosit expresiile „mai puține” și „mai multe” cu sensul de cardinal al mulțimilor respective; în acest sens afirmația este corectă. Reformularea pe care o propuneți este improprie în acest context, pentru că mulțimea numerelor iraționale nici măcar nu formează un corp, deci nu numai ultima condiție, ci toate condițiile diferențiază numerele raționale de cele iraționale. — AdiJapan ☎ 20 iunie 2007 19:55 (EEST)

Domnule, mulțimea numerelor reale este formată din submulțimi de numere, fiecare cu caracteristicile sale. Mulțimea numerelor reale se mai poate împărți în sbmulțimea numerelor algebrice și submulțimea numerelor iraționale. Depinde ce dorim să scoatem în evidență. Dar mulțimea numerelor reale se diferențiază doar față de mulțimea numerelor complexe. Atât. Celelalte submulțimi se diferențiază între ele, în cadrul mulțimii numerelor reale. Vă spun că nu e corect ce ați scris acolo și încep să nu mă mai mir că Wikipedia nu este luată în serios. Eu nu știu ce trebuie scris acolo dar așa cum este scris e greșit. Cred că ar trebui să consultați un specialist în matematică și acesta să valideze cele scrise, prin semnătură proprie.

Problema nu este la acea propoziție, ci la felul cum o interpretați dumneavoastră, scoasă din context. Nu știu în schimb de ce afirmați fără ezitare că numerele reale diferă de cele complexe --- știți desigur că numerele reale sînt la rîndul lor o submulțime a celor complexe. Vă repet (am obosit repetînd) că afirmația din articol se referă la o proprietate a mulțimilor Q și R, nu la numere luate individual. Relația de incluziune dintre R și Q nu are relevanță în această discuție. Mulțimile R și Q au proprietăți diferite, în schimb despre numere nu se poate face această afirmație, pentru că așa cum spuneți raționalele sînt și ele reale.

Dacă vă plac așa de mult numerele complexe iată un exemplu cu totul analog. Mulțimea numerelor complexe are proprietatea că rădăcina pătrată a oricărui element aparține aceleiași mulțimi. În schimb mulțimea numerelor reale (deși este inclusă în C) nu are această prorpietate. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 06:13 (EEST)

Faptul că dvs. ați obosit nu vă face mai convingător, iar afirmația: „Relația de incluziune dintre R și Q nu are relevanță în această discuție.” este opinia dvs. În articol se scrie: <<Termenul de "număr real" este un retronim, inventat după apariția noțiunii de "număr imaginar".>>. Ce deduceți din asta? Numerele imaginare sunt altceva decât numerele reale! Pentru a fi mai plastic revin la o comparație pe care am mai făcut-o. Există două regnuri în mulțimea ființelor de pe Pământ, regnul vegetal și regnul animal. Omul aparține, după evoluționiști, regnului animal. Se poate spune că regnul animal se diferențiază de om? Eu spun că, în cadrul regnului animal, speciile sunt acelea care se diferențiază între ele și nu numai ele ci și subspeciile în cadrul speciilor etc. Dacă regnul animal se diferențiază de ceva acela nu poate fi decât regnul vegetal. Eu vă rog, totuși, să întrebați un matematician și să-l rugați să scrie articolul așa cum se cuvine și să-l și semneze.

Îmi pare rău, pe subiecte de matematică eu nu pot discuta decît logic. M-ați dezarmat complet. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 08:13 (EEST)

Citind mai atent definiția: „numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor” văd că de aici provine greșeala. Prin această definiție, numerele naturale, întregi și raționale nu sunt numere reale. Trag concluzia că, după Wikipedia, numerele reale sunt numai numerele iraționale și transcendentale. E limpede că dvs. nu sunteți matematician. Nici eu nu sunt dar cred că am mai mare contact cu matematica decât dvs. Prin urmare, dacă doriți să fie corect articolul, vă rog să apelați la un specialist autentic. Logica dvs. este a unui nespecialist.

Ce este greșit în acea definiție intuitivă? Nu înțeleg cum ați dedus de acolo că numerele raționale nu ar fi reale.

Exprimarea „numerele iraționale și transcedentale” este improprie, pentru că toate numerele transcendentale sînt și iraționale. La fel exprimarea „numerele naturale, întregi și raționale”.

Haideți să nu ne lăudăm fiecare cu cîtă tangență avem cu matematica. Dacă aveți argumente logice pentru ceea ce afirmați sînt gata să vă ascult, dar pînă acum n-ați adus ca argument decît o analogie șubredă cu regnul animal, vegetal etc. În schimb la analogia mea cu numerele complexe n-ați reacționat.

Ne cereți să apelăm la un matematician. După cum bine știți Wikipedia se bazează pe contribuțiile voluntarilor, atît specialiști cît și nespecialiști. Dacă dumneavoastră cunoașteți vreun matematician doritor să ne ajute vă rog să-l invitați aici. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 09:19 (EEST)

Am mai explicat, dar vi se pare ilogic, că numere reale sunt toate or, a spune că numerele reale au corespondență de unu-la-unu, pe axa numerelor, este ca și cum ai spune că și numerele întregi au corespondență de unu-la-unu, ceea ce amestecă mulțimile de numere numărabile cu cele transfinite. E doar o eroare de exprimare. Dacă mulțimea numerelor reale se diferențiază de mulțimea numerelor raționale, este ca și cum s-ar spune că mulțimea numerelor reale, în ansamblul lor, inclusiv a numerelor raționale, se diferențiază de numerele raționale. Prin ce se diferențiază numerele raționale de numerele raționale, ca mulțimi?

Modul dvs. de exprimare, „Haideți să nu ne lăudăm fiecare cu câtă tangență avem cu matematica. Dacă aveți argumente logice pentru ceea ce afirmați sunt gata să vă ascult, dar până acum n-ați adus ca argument decât o analogie șubredă cu regnul animal, vegetal etc. În schimb la analogia mea cu numerele complexe n-ați reacționat.”, degajă un aer de superioritate, de aroganță și nu înțeleg pe ce se bazează. Ce vreți să spuneți cu „sunt gata să vă ascult”? Sunteți o somitate științifică, sau un moderator? E bine să se știe dacă aici, la Wikipedia, se discută cu niște somități. Dacă sunteți mai modest aveți numai de câștigat.

Mi s-a mai spus că dau impresia de aroganță, se pare că e un defect al meu de care nu sînt conștient. Îmi cer scuze, nu este cu intenție. Ideea este că nu văd logica în ce spuneți, ceea ce poate fi desigur vina mea.

Hai să le luăm pe rînd. Nu reușesc să înțeleg ce vi se pare greșit în a spune că există o corespondență unu la unu între mulțimea numerelor reale și axa numerelor. Spuneți că nu poate exista o asemenea bijecție? — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 10:25 (EEST)

Eu nu doresc decât să fie un articol corect și nu mi se pare corect. Am plecat de la o propoziție și discuțiile devin divergente. Dacă definiția numerelor reale este corectă atunci nu este corectă acea propoziție. Am scris mai sus: „Dacă mulțimea numerelor reale se diferențiază de mulțimea numerelor raționale, este ca și cum s-ar spune că mulțimea numerelor reale, în ansamblul lor, inclusiv a numerelor raționale, se diferențiază de numerele raționale. Prin ce se diferențiază numerele raționale de numerele raționale, ca mulțimi?” Propoziția a devenit: „Ultima proprietate diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale.” și eu am insistat că mulțimea numerelor reale include mulțimea numerelor raționale ceea ce face improprie exprimarea „diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale”. Nu mi se pare corect să spunem că X (care-l conține pe Y) se diferențiază de Y. Nu am modificat eu textul articolului ci am propus modificarea sa, din cauza acestei scăpări de logică. Scris simplist putem spune că X – Y diferă de Y, adică ansamblul tuturor celorlalte submulțimi, din mulțimea numerelor reale, se diferențiază de submulțimea numerelor reale, cea care se numește mulțimea numerelor raționale.

Coppel, p. 23: „In the set P of positive rational numbers, the subset T of all x € P such that x² < 2 has an upper bound, but not least upper bound.”. Daizus 21 iunie 2007 13:01 (EEST)

Referitor la „X - Y”, în limbajul matematic (din câte îmi aduc aminte) există „diferență” dar nu „diferențiere”. De asemenea, diferența a două mulțimi este tot o mulțime, nu o proprietate, cum este scris în articol. Este exclus ca propoziția „Ultima proprietate diferențiază mulțimea X de Y.” să aibă înțelesul „X - Y”. Daizus 21 iunie 2007 13:06 (EEST)

Încă o intervenție pentru a clarifica:

* orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară în R.

* nu orice submulțime nevidă T a lui Q care are margine superioară în Q are o cea mai mică margine superioară în Q.

După cum se observă este o comparație între mulțimile R și Q, nu R - Q și Q. Daizus 21 iunie 2007 13:17 (EEST)

„Numerele raționale nu sunt în corespondență 1 la 1 cu punctele de pe axa numerelor” (AdiJapan, 19 iunie 2007 13:48);

Definiția:„ numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor”

Concluzia: Numerele raționale nu sunt numere reale.[???]

Nu, concluzia este greșită (sau doar exprimată greșit). Din cele două ipoteze se poate deduce doar că R ≠ Q. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 14:49 (EEST)

După ce logică?

Dvs. spuneți clar:

Q nu este în corespondență 1 la 1 pe X.

R este în corespondență 1 la 1 pe X.

Q aparține lui R dar nu este R.

Concluzia: Q nu sunt numere reale.

Păi, dacă toate numerele reale au corespondență de 1 la 1 pe axa X și toate numerele raționale nu au, dvs. ce concluzie vreți să trag? De aceea am spus că propoziția este greșită, chiar dacă a spus-o Coppel.

Concluzia este greșită și nu aparține nici articolului, nici lui AdiJapan. Q c R, Q ≠ R, ambele sunt adevărate. Noi discutăm un aspect (o consecință, mai degrabă) al diferențelor dintre cele două mulțimi. Nu este nicio legătură între această discuție și relația de incluziune: Q c R. Daizus 21 iunie 2007 15:14 (EEST)

Coppel explică tăieturile Dedekind. L-am inclus și pe Dedekind în bibliografie. Cartea se poate citi parțial aici (cu alte „search query”-uri se pot citi și alte pagini din carte). Daizus 21 iunie 2007 15:19 (EEST)

Eu renunț. Duceți-vă la un profesor de matematică (orice nivel) să vă lămurească; bănuiala mea este că nu înțelegeți conceptul de mulțime ca obiect cu proprietăți distincte de proprietățile elementelor din care se compune mulțimea. Dar nu e rostul meu și nici al Wikipediei să vă dea explicații private. Nu mai așteptați răspuns de la mine pe tema asta. Îmi cer scuze dacă asta sună din nou a aroganță, dar așa cum spuneam și mai sus „raționamentele” dumneavoastră mă dezarmează. Vă salut. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 15:23 (EEST)

Cum să nu fie nicio legătură între această discuție și relația de incluziune: Q c R, domnule Daizus? Păi, nu despre numere reale vorbim? Nu ele sunt cele care au corespondent 1 la 1 pe axa numerelor? Și dacă numerele raționale nu au corespondent 1 la 1 pe axa numerelor, nu înseamnă că nu sunt reale? Domnilor, mi se spunea că nu se poate discuta cu cineva, ilogic. Eu vă propun, totuși, să discutați cu un matematician. Altfel, nu cred că articolul va arăta cum trebuie. Pace bună tuturor!

Dedekind a fost un matematician și despre tăieturi Dedekind discutăm. Dacă el (și alții după el) au spus că numerele reale au o proprietate pe care numerele raționale nu le au, nu înțeleg ce altceva mai este de discutat. Și nici Q c R, nici vreun alt „adevăr” matematic nu infirmă demonstrațiile și construcția lui Dedekind, dovadă că sunt deplin acceptate și astăzi. Există multe proprietăți pe care numerele reale (ca mulțime) le au iar numele raționale (deși sunt o submulțime a numerelor reale) nu. Poate unora asta li se pare un paradox, dar asta este matematica. Nu este obligatoriu ca toată lumea să o înțeleagă, iar poate într-un viitor nu foarte îndepărtat Wikipedia va avea articole despre toate aspectele fundamentale ale matematicii. Daizus 21 iunie 2007 16:38 (EEST)

Reiau încercarea mea de a clarifica lucrurile:

• Este vreuna din următoarele două propoziții contestată?

• orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară în R.
• nu orice submulțime nevidă T a lui Q care are margine superioară în Q are o cea mai mică margine superioară în Q.

• Daca nu, atunci cum ar trebui formulată această diferență? Daizus 21 iunie 2007 16:43 (EEST)

Cred că trebuie scris simplu:

Definiție: Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor zecimale, pozitive și negative, cu o infinitate de zecimale.

Mulțimea numerelor reale cuprinde mulțimea numerelor raționale, deoarece și orice fracție se poate prezenta cu o infinitate de zecimale, de exemplu 7.58 = 7.57999…

Mica enciclopedie matematică, Editura Tehnică, 1980

Definiția este greșită. Vreau să văd numărul π scris ca o fracție zecimală. Fracția 3/4 nu are o infinitate de zecimale, ci doar două. Iar 7.58 nu este egal cu 7.57(9).

Dar eu vorbeam despre altceva, despre definirea numerelor reale ca mulțime de tăieturi Dedekind. Cât timp nu se poate prezenta o formulare alternativă, mai bună, pentru problema dată, orice obiecție este nulă. Daizus 21 iunie 2007 22:03 (EEST)

Dacă mulțimea numerelor raționale, mulțime numărabilă, este inclusă în mulțimea numerelor reale, înseamnă că un număr fracționar poate fi scris în așa fel încât să aibă o margine în numerele transfinite și invers, un număr transfinit poate avea o margine în numerele raționale. Numărul fracționar 7.58, cu două zecimale, poate fi o margine a unui număr cu o infinitate de zecimale, număr transfinit, care să se scrie 7.57999999… Dacă nu se înțelege lucrul acesta atunci nu se înțelege de ce mulțimea numerelor raționale este inclusă în mulțimea numerelor reale. Ar rezulta că numerele raționale nu sunt reale. Articolul este, evident, presărat cu afirmații care nu se conjugă, afirmații corecte dar, puse așa cum sunt puse în pagină, creează confuzii. Definiția extrasă din acea Mică enciclopedie matematică, tradusă din germană, este intuitivă și corectă.

Îmi cer scuze pentru 7,57(9), el este egal cu 7,58 - nu există niciun număr real între ele (una din proprietățile lui R). Dar numere precum e sau π nu pot să fie scrise ca fracții deci „Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor zecimale, pozitive și negative, cu o infinitate de zecimale.” este o definiție greșită. Daizus 22 iunie 2007 09:57 (EEST)

Nu înțeleg de ce este greșită definiția din Mica enciclopedie? Numerele pi și e, de care spuneți, sunt numere transcendente, cu o infinitate de zecimale dar, spre deosebire de numerele raționale și iraționale, obișnuite, nu sunt periodice. Adică, zecimalele nu se repetă, în grupuri, periodic. Definiția le conține și pe acestea deoarece zecimalele sunt infinite și au o margine în mulțimea numerelor reale. Din cauza asta toate mulțimile de numere, notate N, Z, Q se regăsesc în R iar R poate fi împărțit în mai multe tipuri de submulțimi, după specificul lor. Dintre numerele transfinite se disting numerele algebrice și numerele transcendente. Numerele iraționale pot fi construite cu rigla și compasul iar cele transcendente nu. Cu alte cuvinte, numerele algebrice pot fi soluții ale unor ecuații algebrice pe câtă vreme numerele transcendente nu pot fi soluții ale unor ecuații algebrice. Dar toate acestea au o infinitate de zecimale și pot fi o limită în numerele fracționare. Consider că articolul de care discutăm trebuie simplificat la maxim deoarece, așa nu este, creează confuzii. Ori se scrie un articol complet, ca într-un tratat de matematică, cu toate demonstrațiile, la modul riguros, fără ambiguități, ori se simplifică, pentru a deveni intuitiv corect. Eu optez pentru a doua variantă. Oricum, așa cum se prezintă, scuzată fie-mi expresia, e varza.

Este obositor să repet ceva de trei ori pentru a fi observat/înțeles. Definiția spune: „Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor ...”. Așadar pretinde că orice număr real poate fi scris ca o fracție. Reamintesc că o fracție este reprezentarea unui număr rațional prin p / q unde p, q sunt numere întregi iar q ≠ 0. Pentru a încerca să scriem numărul π ca fracție, singura soluție pe care o văd este o amplificare prin 10ⁿ, unde n este numărul zecimalelor lui π și tinde la oo. Pe lângă aceasta, mai este și problema numărătorului care nu poate fi scris nicicum. π * 10ⁿ nu este număr întreg, iar când n → oo, numărătorul va fi oo. Amintesc și una din definițiile pentru numerele iraționale, care spune că acestea nu pot fi scrise ca fracții.

Definirea numerelor prin tăieturi Dedekind este foarte simplă, mult mai simplă (zic eu) decât prin secvențe Cauchy. Mai trebuie avut în vedere că celebra axiomă care spune că mulțimea numerelor reale poate fi reprezentată printr-o dreaptă se mai numește și Dedekind-Cantor. Daizus 22 iunie 2007 11:51 (EEST)

AdiJapan m-a avertizat că ar exista o noțiune numită fracție zecimală infinită (pe care o presupun sinonimă cu fracție zecimală cu o infinitate de zecimale, deși fracție zecimală înseamnă cu totul altceva - este tot o fracție) pe care eu o cunosc sub numele de reprezentare zecimală (care se definește pentru numerele iraționale printr-o sumă infinită de fracții sau, mai intuitiv, printr-o secvență infinită de zecimale). În acest caz îmi cer din nou scuze, a fost o neînțelegere de terminologie.

Totuși, deși reprezentarea zecimală (prefer această formulă) este mai intuitivă, am întâlnit o predilecție pentru definiția prin tăieturi Dedekind, probabil și pentru că astfel axiomele aritmeticii se pot verifica relativ ușor. Nu pot împărtăși părerea că această definiție nu este simplă. Poate că reprezentarea zecimală ar trebui adăugată la articol, dar nu trebuie să eliminăm proprietățile numerelor reale (cum este cea prin care se construiesc tăiteturile Dedekind). De altfel, la Wikipedia se încearcă să se ofere materiale cât mai cuprinzătoare, nu cât mai telegrafice. Daizus 22 iunie 2007 13:48 (EEST)

Luați o pauză forumiștilor

Este incredibil cum pentru 10 rânduri ale articolului ați scris 100 pe pagina de discuție. Cred că până la urmă acesta e viitorul ro wikipediei, să aibă pagini de discuție bogate! Forumul pare mai atrăgător pt român decât scrierea enciclopediei. Nu există surse pentru numărul real ? Nu a scris nimeni în România o definiție a lui ? -- Pixi ^discuție 21 iunie 2007 10:30 (EEST)

Persoana susține că articolul este greșit și atunci firește încercam să aflu de ce crede asta. Dar ai dreptate, discuțiile nu par să ducă la o rezolvare. Apropo, dacă ai răbdare îți recomand filmulețul "How Open Source Projects Survive Poisonous People" (caută pe Google Video); este despre cum trebuie procedat în situații ca aceea de față. Eu eram acum la faza în care încercam să înțeleg obiecțiile la articolul de față. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 10:47 (EEST)

PS. Acum descopăr că avem de a face cu aceeași persoană (dl Bujor Voinea) care comenta la nesfîrșit la Discuție:Mircea Ciobanu. Cu tot respectul, cred că intervențiile dumnealui în această discuție nu sînt constructive. — AdiJapan ☎ 21 iunie 2007 11:04 (EEST)

offtopic - Vezi de asta îmi plac mie americanii ! Nici nu apare bine o problemă (de ex comunitatea open source) că sunt 2-3 care o studiază și fac un guideline sau tutorial :-) (dacă nu aș fi prea bătrân mi-aș lua și eu lumea=America în cap) Filmulețul îmi confirmă gândurile: nu trebuie să facem lucrurile perfecte de unul singur, ci ca și comunitate, și în timp ... și să ne protejăm de gură cască (mie îmi place mai mult termenul românesc în loc de „băieții otrăvitori”)-- Pixi ^discuție 21 iunie 2007 11:22 (EEST)

Domnule AdiJapan, din PS –ul dvs se vede că scuzele au fost doar de complezență; ați rămas același, la fel de arogant. Nu credeam că voi avea de-a face cu băieții din spatele blocului.

Foarte bun articolul, felicitari tutoror care au contribuit la creerea acestui articol. Am inteles tot, mi-am lamurit toate neintelegerile acestei lectii. -->BogdanTeodorescu 10 februarie 2016 19.36