Caustică (matematică)
În geometria diferențială, o caustică este înfășurătoarea(d) unor drepte, fie reflectate, fie refractate de o varietate (dirimantă).[1] Este legată de conceptul de caustică(d) din optica geometrică.[2] Sursa razelor poate fi un punct (numit radiant) sau raze paralele dintr-un punct de la infinit, caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.
În general, mai ales aplicată la geometria simplectică și teoria singularităților(d), o caustică este mulțimea valorilor critice ale unei aplicații lagrangiene (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; unde i : L ↪ M este o imersiune lagrangiană a unei submulțimi lagrangiene L într-o mulțime simplectică M, iar π : M ↠ B este un fibrat lagrangian al mulțimii simplectice M. Caustica este o submulțime a fibratului lagrangian B.[3]
Explicație
[modificare | modificare sursă]Concentrarea luminii, în special a Soarelui, poate arde. Cuvântul caustic provine din greacă καυστός (= fierbinte), prin latină causticus.
O situație comună în care causticele sunt vizibile este la lumina dintr-un pahar de băut. Sticla aruncă o umbră, dar produce și o regiune curbă de lumină strălucitoare. În circumstanțe ideale (inclusiv raze perfect paralele, ca de la o sursă punctuală aflată la infinit), poate fi produsă o zonă de lumină în formă de nefroidă(d).[4][5] Causticele ondulate se formează de obicei atunci când lumina strălucește prin valuri de pe apă.
O altă caustică familiară este curcubeul.[6][7] Împrăștierea luminii prin picăturile de ploaie face ca diferitele lungimi de undă ale luminii să se refracte diferit pe arcele din picături, producând curcubeul.
Catacaustică
[modificare | modificare sursă]O catacaustică este produsă prin reflexie.
Pentru razele care pleacă dintr-un punct radiant, este evoluta podarei radiantului.
Cazul planar cu raze paralele: se presupune că vectorul direcție este și curba care reflectă este parametrizată ca . Vectorul normal într-un punct este ; reflectarea vectorului de direcție este (normal necesită o normalizare particulară)
Având componentele vectorului reflectat, el va fi tratat drept tangentă
Din cea mai simplă formulă a înfășurătoarei se obține
care poate fi inestetic, dar dă un sistem liniar(d) în și obținerea unei parametrizări a catacausticei este elementară. Se poate folosi regula lui Cramer(d).
Exemplu
[modificare | modificare sursă]Fie vectorul direcției (0,1) și curba care reflectă Atunci
iar are soluția ; De exemplu, lumina care intră întru-n reflector parabolic de-a lungul axei sale este reflectată în focar.
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ N. Abramescu, Lecțiuni de geometrie pură infinitezimală, Editura Universității din Cluj, 1930, p. 55
- ^ Corina Gruescu, Optică tehnică. Aplicații Arhivat în , la Wayback Machine., upt.ro, 2009, p. 44, accesat 2023-05-16
- ^ en Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
- ^ en Eric W. Weisstein, Circle Catacaustic la MathWorld.
- ^ en Levi, Mark (). „Focusing on Nephroids”. SIAM News. Arhivat din original la . Accesat în .
- ^ en Rainbow caustics
- ^ en Caustic fringes
Legături externe
[modificare | modificare sursă]- en Eric W. Weisstein, Caustic la MathWorld.