Caustică (matematică)

Pentru alte sensuri, vedeți Caustică (dezambiguizare).

Caustică de reflexie generată de un arc de cerc și un fascicul de raze paralele

În geometria diferențială, o caustică este înfășurătoarea^⁠(d) unor drepte, fie reflectate, fie refractate de o varietate (dirimantă). Este legată de conceptul de caustică^⁠(d) din optica geometrică. Sursa razelor poate fi un punct (numit radiant) sau raze paralele dintr-un punct de la infinit, caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.

În general, mai ales aplicată la geometria simplectică și teoria singularităților^⁠(d), o caustică este mulțimea valorilor critice ale unei aplicații lagrangiene (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; unde i : L ↪ M este o imersiune lagrangiană a unei submulțimi lagrangiene L într-o mulțime simplectică M, iar π : M ↠ B este un fibrat lagrangian al mulțimii simplectice M. Caustica este o submulțime a fibratului lagrangian B.

Explicație

Razele refractate de o suprafață care nu este plană formează caustice unde multe dintre ele se intersectează

Concentrarea luminii, în special a Soarelui, poate arde. Cuvântul caustic provine din greacă καυστός (= fierbinte), prin latină causticus.

O situație comună în care causticele sunt vizibile este la lumina dintr-un pahar de băut. Sticla aruncă o umbră, dar produce și o regiune curbă de lumină strălucitoare. În circumstanțe ideale (inclusiv raze perfect paralele, ca de la o sursă punctuală aflată la infinit), poate fi produsă o zonă de lumină în formă de nefroidă^⁠(d). Causticele ondulate se formează de obicei atunci când lumina strălucește prin valuri de pe apă.

O altă caustică familiară este curcubeul. Împrăștierea luminii prin picăturile de ploaie face ca diferitele lungimi de undă ale luminii să se refracte diferit pe arcele din picături, producând curcubeul.

Catacaustică

O catacaustică este produsă prin reflexie.

Pentru razele care pleacă dintr-un punct radiant, este evoluta podarei radiantului.

Cazul planar cu raze paralele: se presupune că vectorul direcție este $(a,b)$ și curba care reflectă este parametrizată ca $(u(t),v(t))$. Vectorul normal într-un punct este $(-v'(t),u'(t))$; reflectarea vectorului de direcție este (normal necesită o normalizare particulară)

$2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}$

Având componentele vectorului reflectat, el va fi tratat drept tangentă

$(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).$

Din cea mai simplă formulă a înfășurătoarei se obține

$F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})$

$=x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')$

$F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')$

$+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')$

care poate fi inestetic, dar $F=F_{t}=0$ dă un sistem liniar^⁠(d) în $(x,y)$ și obținerea unei parametrizări a catacausticei este elementară. Se poate folosi regula lui Cramer^⁠(d).

Exemplu

Fie vectorul direcției (0,1) și curba care reflectă $(t,t^{2}).$ Atunci

$u'=1$   $u''=0$   $v'=2t$   $v''=2$   $a=0$   $b=1$

$F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t$

$F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1$

iar $F=F_{t}=0$ are soluția $(0,1/4).$; De exemplu, lumina care intră întru-n reflector parabolic de-a lungul axei sale este reflectată în focar.

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Caustic la MathWorld.