Armonice solide

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:

  • armonice solide regulate , care tind către zero în origine
  • armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.

Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.

Derivări, legătura cu armonicele sferice[modificare | modificare sursă]

Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:

în care L2 este pătratul operatorului momentului unghiular:

Se cunoaște că armonicele sferice Yml sunt funcții proprii ale lui L2:

Substituind Φ(r) = F(r) Yml în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:

Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:

și armonice solide neregulate:

Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:

(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.

Teoremele de sumare[modificare | modificare sursă]

Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:

în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:

Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:

cu . Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:

Referințe[modificare | modificare sursă]

Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:

  • R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
  • M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

Forma reală[modificare | modificare sursă]

Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.

Combinații liniare[modificare | modificare sursă]

Scriem în acord cu definiția de mai sus:

cu

în care este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley

Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:

iar pentru m = 0:

Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.

Parte z-dependentă[modificare | modificare sursă]

Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:

cu

Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:

Parte (x,y)-dependentă[modificare | modificare sursă]

Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:

De asemenea:

Mai mult:

și

În total[modificare | modificare sursă]

Lista celor mai scăzute funcții[modificare | modificare sursă]

Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv. Aici



Cele mai scăzute funcții și sunt:

m Am Bm
0
1
2
3
4
5

Exemple[modificare | modificare sursă]

De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:

Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini qi este:

Armonicele sferice sub forma carteziană[modificare | modificare sursă]

Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):

iar pentru m = 0:

Aici

iar pentru m > 0:

Pentru m = 0:

Exemple[modificare | modificare sursă]

Folosind expresiile de mai sus pentru , și obținem:

Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.