Teorema lui Bézout

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol se referă la teorema lui Bézout din geometria algebrică. Pentru teorema lui Bézout din aritmetică vedeţi identitatea lui Bézout.

Teorema lui Bézout se referă la o formulare demonstrabilă din geometria algebrică privind un număr de puncte comune, sau puncte de intersecţie a două curbe algebrice. Teorema afirmă că două curbe plane algebrice, X de grad m şi Y de grad n, au un număr maxim de puncte de intersecţie egal cu produsul gradelor polinoamelor, mn. Această afirmaţie este adevărată dacă se consideră curbele ca neavând nici o componentă comună înaintea intersectării propriu-zise şi se consideră multiplicitatea acestora, respectiv apartenenţa punctelor la acelaşi câmp finit algebric.

[modifică] Exemple

Două drepte ne-confundate se întâlnesc în exact un punct. Dacă sunt paralele punctul este aruncat la infinit. Pentru a ilustra algebric, în spaţii proiective, fie curbele x+2y=3 şi x+2y=5, care sunt reprezentate de ecuaţiile omogene x+2y-3z=0 and x+2y-5z=0. După rezolvare, se găseşte că x= -2y şi z=0, ceea ce corespunde punctului (-2:1:0) în coordonate omogene. dar cum coordonate z este 0, acest punct se găseşte la infinit.

Cazul deosebit a două curbe de grade diferite care se intersectează este o variantă a teoremei fundamentale a algebrei. De exemplu, parabola definită de y - x² = 0 are gradul 2, în timp ce dreapta y - 2x = 0 are gradul 1; ca atare, cele două curbe se întâlnesc în exact două puncte.

Două cercuri nu se intersectează decât în exact două puncte în plan, deşi teorema lui Bézout afirmă că ar fi patru. Discrepanţa este aparentă şi provine din faptul că fiecare din cele două cercuri trece prin aceleaşi puncte din planul complex de două ori. Dacă se alege cercul de coordonate:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2

în coordonate omogene, se obţine

(x - a z) 2 + (y - b z) 2 - r 2 z 2 = 0,

de unde reiese că punctele (1:i:0) şi (1:-i:0) se află pe fiecare cerc. Când două cercuri nu se intersectează în planul real(de exemplu, fiindcă sunt concentrice), se întălnesc în aceste puncte la infinit When two circles don't meet at all in the real plane (for example because they are concentric) they meet at these two points on the line at infinity and two other complex points which do not lie at infinity.

Any conic should meet the line at infinity at two points according to the theorem. A hyperbola meets it at two real points corresponding to the two directions of the asymptotes. An ellipse meets it at two complex points which are conjugate to one another---in the case of a circle, the points (1:i:0) and (1:-i:0). A parabola meets it at only one point, but it is a point of tangency and therefore counts twice.

In general, two conics meet in four points. The following pictures show examples in which the circle x²+y²-1=0 meets another ellipse in fewer intersection points because at least one of them has multiplicity greater than 1: