Teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În trigonometria sferică, teorema cosinusului (numită și regula cosinusului pentru laturi[1]) este o teoremă referitoare la unghiurile și laturile unui triunghi sferic, lege analoagă teoremei cosinusului din geometria plană.

Triunghi sferic rezolvat cu ajutorul teoremei cosinusului.

Fiind dată o sferă de rază 1, un triunghi sferic pe suprafața sferei este definit de cercurile mari care conectează trei puncte A, B și C de pe sferă. Dacă lungimile laturilor triunghiului sferic sunt: a – de la B la C, b – de la A la C și c – de la A la B, iar unghiul opus laturii a este A, atunci teorema cosinusului pentru un triunghi sferic (pe care o vom demonstra mai jos) este dată de relația:[2][1]


\cos(a) = \cos(b) \cos(c) + \sin(b) \sin(c) \cos(A). \,


care, prin permutări circulare se scrie și pentru celelalte două laturi:


\cos(b) = \cos(a) \cos(c) + \sin(a) \sin(c) \cos(B). \,
\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C). \,


Deoarece sfera are raza egală cu 1, lungimile a, b și c sunt egale cu unghiurile (în radiani) subîntinse de aceste laturi față de centrul sferei (pentru sfere care au raza ≠ 1, unghiurile sunt date de distanțele a, b și c împărțite la rază).

Ca un caz special, pentru A = \pi/2 \, avem \cos(A) =0 \, și obținem analogul sferic al teoremei lui Pitagora:


\cos(a) = \cos(b) \cos(c). \,


O variație a teoremei cosinusului conduce la a doua teoremă a cosinusului pentru sferă,[3] (numită și regula cosinusului pentru unghiuri[1]) arătând că:


\cos(A) = -\cos(B)\cos(C) + \sin(B)\sin(C)\cos(a) \,


In care A și B sunt respectiv unghiurile din colțurile opuse laturilor a și b. Aceasta poate fi obținută prin considerarea triunghiului sferic dual celui dat.

Pentru triunghiuri sferice mici, adică unghiurile a, b și c sunt mici, teorema cosinusului pentru sferă este aproximativ egală cu cea a teoremei cosinusului din geometria plană:


a^2 \approx b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) . \,\!


Eroarea acestei aproximări poate fi obținută din dezvoltarea în serie Maclaurin pentru sinus și cosinus, și este de ordinul:


O(a^4) + O(b^3 c) + O(b c^3) . \,\!


Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Triunghi sferic pentru demonstrarea teoremei cosinusului.

Fie triunghiul sferic ABC, O fiind centrul sferei de rază egală cu 1. Tangenta din punctul A la arcul AC întâlnește pe OC în E, iar tangenta din A la arcul AB întâlnește pe OB în D. Din această construcție rezultă că unghiul EAD este egal cu unghiul A din triunghiul sferic. De asemenea unghiul EOD dă măsura laturii a. Triunghiurile ADE și OED sunt plane și aplicând teorema lui Pitagora generalizată obținem:


DE^{2} = AD^{2}+AE^{2}-2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos(A) \qquad (1)
DE^{2} = OD^{2}+OE^{2}-2\cdot OD\cdot OE\cdot \cos(A) \qquad (2)


Triunghiurile OAD și OAE sunt prin construcție dreptunghice și avem:


 OD^{2} = OA^{2}+AD^{2} \,
 OE^{2} = OA^{2}+AE^{2} \,


Substituind aceste relații în ecuația (2) și scăzând ecuația (2) din (1), obținem:


 0 = 2\cdot OA^{2} + 2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos(A) - 2\cdot OD\cdot OE \cdot \cos(a)


Împărțind cu  OD\cdot OE, obținem:


 \cos(a) = \frac{OA}{OE} \frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE} \frac{AD}{OD}\cdot \cos(A)


Din care, în final, ținând cont că triunghiurile OAE și OAD sunt dreptunghice, obținem teorema cosinusului pentru triunghiuri sferice:


\cos(a) = \cos(b) \cos(c) + \sin(b) \sin(c) \cos(A) \,


care mai poate fi scrisă și sub forma:


 \cos(A) = \frac{\cos(a) - \cos(b) \cos(c)}{\sin(b) \sin(c)}


Vezi și[modificare | modificare sursă]


Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b c W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
  2. ^ name=Ireneus>Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
  3. ^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft.. p. 83