Spaţiu Hilbert

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În analiza matematică, un spaţiu Hilbert este un spaţiu vectorial peste care s-a definit un produs scalar (un spaţiu prehilbertian) şi care este un spaţiu metric complet în raport cu metrica indusă de produsul scalar.

O proprietate fundamentală a oricărui spaţiu Hilbert este dată de teorema de reprezentare a lui Riesz: orice funcţională liniară şi continuă $L:H\to\mathbb{K}$ (unde H este spaţiul Hilbert şi $\mathbb{K}$ este corpul peste care este construit - mulţimea numerelor reale sau mulţimea numerelor complexe) poate fi scrisă ca un produs scalar cu un vector fix, dependent de L: $\exists v_L\in H\,:\ \forall x\in H\ \langle v_L,x\rangle=L(x)$

Pentru orice spaţiu Banach, mulţimea funcţionalelor liniare şi continue este de asemenea un spaţiu Banach, numit spaţiul dual al spaţiului Banach original. Pentru un spaţiu Hilbert, teorema lui Riesz afirmă că spaţiul său dual coincide (este izomorf cu el însuşi. De aici afirmaţia că un spaţiu Hilbert este un spaţiu Banach autodual.