Funcție continuă

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției, sau dacă graficul funcției oscilează,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Definiția formală

Definiția într-un spațiu metric

Dacă $f:X\to Y$, unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, $X=Y=\mathbb{R}$), funcția f se numește continuă în punctul $x_0\in X$ dacă pentru orice valoare $\varepsilon\in(0,\infty)$ există un $\delta_\varepsilon\in(0,\infty)$ astfel încât $\forall x\in X\{x_0\}\,,\ d_X(x,x_0)<\delta_\varepsilon$, să aibă loc $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$, unde $d_X$ reprezintă distanța din spațiul metric X, iar $d_Y$ reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare $x_0$ dacă $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu putem vorbi de continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x\leq 0\\1 &, & x>0\end{array}\right.$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x=0\\\sin\frac{1}{x} &, & x\neq0\end{array}\right.$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.