Matricea lui Cauchy

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Matricea lui Cauchy este o matrice A de tip  m \times n , cu elementele de forma:

 a_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}} ; \quad x_i-y_j\neq 0, \quad 1 \le i \le m , \quad 1 \le j \le n

 A = \begin{bmatrix} \frac{1}{x_1-y_1} & \frac {1}{x_1-y_2} & \dots & \frac{1}{x_1-y_n} \\ \frac{1}{x_2-y_1} & \frac{1}{x_2-y_2} & \dots & \frac{1}{x_2-y_n}  \\ \dots \dots \dots \\ \frac{1}{x_m-y_1} & \frac{1}{x_m-y_2} & \dots & \frac{1}{x_m-y_n} \end{bmatrix}


Determinantul lui Cauchy[modificare | modificare sursă]

Pentru cazul particular  m=n , determinantul matricii este:

 \det \mathbf{A} = {{\prod_{i=2}^n \prod_{j=1}^{i-1} (x_i-y_j)(y_j-y_i)} \over {\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n (x_i-y_j)}}

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Determinantul lui Cauchy este nenul și astfel orice matrice pătrată de tip Cauchy este inversabilă. Inversa este A-1=B = [bij] dată de:
 b_{ij} = (x_j-y_i) A_j(y_i) B_i(x_j) \,

unde Ai(x) și Bi(x) sunt polinoamele lui Lagrange pentru  (x_i) , respectiv  y_j .

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • A. Gerasoulis - A Fast Algorithm for the Multiplication of Generalized Hilbert Matrices with Vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, pp. 179-188

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]