Funcție Struve

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, funcția Struve notată \mathbf{H}_\alpha(x), este soluția y(x) a ecuației diferențiale Bessel neomogene:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = \frac{4{(x/2)}^{\alpha+1}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

introdusă de H.Struve in 1882. Numărul complex α este ordinul funcției Struve, și adesea este un întreg.

Funcția Struve modificată este Lα(x) = −ieiαπ/2Hα(ix).


Definiție[modificare | modificare sursă]

Deoarece aceasta este o ecuație neomogenă, soluția poate fi construită dintr-o soluție particulară plus soluția ecuației omogene. În acest caz, soluția omogenă este o funcție Bessel, iar soluția particulară poate fi aleasă ca funcția corespunzătoare Struve.

Dezvoltare în serie de puteri[modificare | modificare sursă]

Funcția Struve se dezvoltă în următoarea serie de puteri:

 \mathbf{H}_\alpha(x) = 
   \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+\frac{3}{2}) \Gamma(m+\alpha+\frac{3}{2})}
                                  {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha+1}

unde \Gamma(z) este funcția gamma.

Forma integrală[modificare | modificare sursă]

O altă definiție a funcției Struve, pentru valori \alpha care satisfac relația \operatorname{Re}\{ \alpha \} > -1/2, este posibilă folosind reprezentarea integrală:

\mathbf{H}_\alpha(x) = 
       \frac{2{(x/2)}^{\alpha}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}
       \int_{0}^{\pi/2} \sin (x \cos \tau)\sin^{2\alpha}(\tau) d\tau.

Formele asimptotice[modificare | modificare sursă]

Pentru x mic, seria de puteri a fost dată la paragraful Expansiunea în serie de puteri.

Pentru x mare, obținem:

\mathbf{H}_\alpha(x) - Y_\alpha(x) \rightarrow 
       \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha-1}
       + O\left({(x/2)}^{\alpha-3}\right)

unde Y_\alpha(x) este funcția Neumann.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Funcția Struve satisface următoarele relații de recurență:


\mathbf{H}_{\alpha -1}(x) + \mathbf{H}_{\alpha+1}(x) = 
   \frac{2\alpha}{x} \mathbf{H}_\alpha (x) + \frac{{(x/2)}^\alpha}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha + \frac{3}{2})}

\mathbf{H}_{\alpha -1}(x) - \mathbf{H}_{\alpha+1}(x) = 
   2\frac{\mathrm{d}\mathbf{H}_\alpha}{\mathrm{d}x}  - 
   \frac{{(x/2)}^\alpha}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha + \frac{3}{2})}.

Relația cu alte funcții[modificare | modificare sursă]

Funcția Struve de ordin întreg poate fi exprimată în termenii funcției Weber En și vice-versa, dacă n nu este un întreg negativ:

\mathbf{E}_n(z)=\frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\Gamma(k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma(n-1/2-k)}\mathbf{H}_n
\mathbf{E}_{-n}(z)=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]} \frac{\Gamma(n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma(k+3/2)}\mathbf{H}_{-n}.

Funcția Struve de ordinul n+1/2 (n un întreg) poate fi exprimată în termenii unei funcții elementare. În particular, dacă n nu este un întreg negativ, atunci:

\mathbf{H}_{-n-1/2}(z) = (-1)^nJ_{n+1/2}(z)

unde partea dreaptă a egalității este o funcție Bessel sferică.

Funcția Struve (de orice ordin) poate fi exprimată în termenii funcției hipergeometrice 1F2 (care nu este funcția hipergeometrică Gauss 2F1) :

\mathbf{H}_{\alpha}(z) = \frac{(z/2)^{\alpha+1/2}}{\sqrt{2\pi}\Gamma(\alpha+3/2)}{}_1F_2(1,3/2,\alpha+3/2,-z^2/4).

Referințe[modificare | modificare sursă]

  • Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 12..
  • Ivanov A.B, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 978-1556080104
  • Struve, H. (1882), Ann. Physik Chemie 17: 1008–1016 
  • R.M. Aarts and Augustus J.E.M. Janssen, "Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations" |journal= J. Acoust. Soc. Am. |volume= 113 |pages= 2635-2637 |year= 2003
  • Aarts, R.M. (2003), „Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations”, J. Acoust. Soc. Am. 113: 2635-2637 

Legături externe[modificare | modificare sursă]