Funcție Struve

În matematică, funcția Struve notată $\mathbf{H}_\alpha(x)$, este soluția y(x) a ecuației diferențiale Bessel neomogene:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = \frac{4{(x/2)}^{\alpha+1}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}$

introdusă de H.Struve in 1882. Numărul complex α este ordinul funcției Struve, și adesea este un întreg. Funcția Struve modificată L_α(x) este egală cu −ie^−iαπ/2H_α(ix).

Definiție

Deoarece aceasta este o ecuație neomogenă, soluția poate fi construită dintr-o soluție particulară plus soluția ecuației omogene. În acest caz, soluția omogenă este o funcție Bessel, iar soluția particulară poate fi aleasă ca funcția corespunzătoare Struve.

Expansiunea în serie de puteri

Funcția Struve se dezvoltă în următoarea serie de puteri:

$\mathbf{H}_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+\frac{3}{2}) \Gamma(m+\alpha+\frac{3}{2})} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha+1}$

unde $\Gamma(z)$ este funcția gamma.

Forma integrală

O altă definiție a funcției Struve, pentru valori $\alpha$ care satisfac relația $\operatorname{Re}\{ \alpha \} > -1/2$, este posibilă folosind reprezentarea integrală:

$\mathbf{H}_\alpha(x) = \frac{2{(x/2)}^{\alpha}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})} \int_{0}^{\pi/2} \sin (x \cos \tau)\sin^{2\alpha}(\tau) d\tau.$

Formele asimptotice

Pentru x mic, seria de puteri a fost dată la paragraful Expansiunea în serie de puteri.

Pentru x mare, obținem:

$\mathbf{H}_\alpha(x) - Y_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha-1} + O\left({(x/2)}^{\alpha-3}\right)$

unde $Y_\alpha(x)$ este funcția Neumann.

Proprietăți

Funcția Struve satisface următoarele relații de recurență:

$\mathbf{H}_{\alpha -1}(x) + \mathbf{H}_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} \mathbf{H}_\alpha (x) + \frac{{(x/2)}^\alpha}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha + \frac{3}{2})}$

$\mathbf{H}_{\alpha -1}(x) - \mathbf{H}_{\alpha+1}(x) = 2\frac{\mathrm{d}\mathbf{H}_\alpha}{\mathrm{d}x} - \frac{{(x/2)}^\alpha}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha + \frac{3}{2})}.$

Relația cu alte funcții

Funcția Struve de ordin întreg poate fi exprimată în termenii funcției Weber E_n și vice-versa, dacă n nu este un întreg negativ:

$\mathbf{E}_n(z)=\frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\Gamma(k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma(n-1/2-k)}\mathbf{H}_n$

$\mathbf{E}_{-n}(z)=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]} \frac{\Gamma(n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma(k+3/2)}\mathbf{H}_{-n}.$

Funcția Struve de ordinul n+1/2 (n un întreg) poate fi exprimată în termenii unei funcții elementare. În particular, dacă n nu este un întreg negativ, atunci:

$\mathbf{H}_{-n-1/2}(z) = (-1)^nJ_{n+1/2}(z)$

unde partea dreaptă a egalității este o funcție Bessel sferică.

Funcția Struve (de orice ordin) poate fi exprimată în termenii funcției hipergeometrice ₁F₂ (care nu este funcția hipergeometrică Gauss ₂F₁) :

$\mathbf{H}_{\alpha}(z) = \frac{(z/2)^{\alpha+1/2}}{\sqrt{2\pi}\Gamma(\alpha+3/2)}{}_1F_2(1,3/2,\alpha+3/2,-z^2/4).$

Referințe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 12..
• Ivanov A.B, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 978-1556080104
• Struve, H. (1882), Ann. Physik Chemie 17: 1008–1016 
• R.M. Aarts and Augustus J.E.M. Janssen, "Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations" |journal= J. Acoust. Soc. Am. |volume= 113 |pages= 2635-2637 |year= 2003

Legături externe

• Struve functions at the Wolfram functions site.