Funcția lui Dirac

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Funcția lui Dirac (funcția delta) ca limită a unui șir de distribuții normale (gaussiene) centrate pe origine \scriptstyle \delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}, pentru \scriptstyle a \rightarrow 0.

Funcția lui Dirac, sau funcția delta, notată δ(x), nu este o funcție obișnuită, ci o funcție generalizată (sau o distribuție). Poartă numele fizicianului englez P.A.M. Dirac care a utilizat-o extensiv în formularea sa a mecanicii cuantice, dar prezența ei în matematică este mai veche și e de exemplu implicită în folosirea integralei Stieltjes. Introducerea ei simplifică considerabil prezentările diferitelor capitole ale fizicii matematice. Descrierea matematică riguroasă a statutului funcției lui Dirac (și a altor funcții generalizate) este datorită lui Laurent Schwartz.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Calitativ, funcția delta poate fi concepută ca o funcție care este egală cu zero peste tot, cu excepția lui x=0 unde este infinită, dar astfel încât

\int _{I} \delta (x') dx' = 1 \,

pentru orice interval care conține pe x=0. De aceea se poate afirma că integrala indefinită a funcției Dirac este treapta unitate Heaviside

\int_{- \infty}^{x} \delta (x') dx' = \theta (x).\,

Deci funcția lui Dirac este „derivata” funcției Heaviside.

Pentru orice funcție φ(x), continuă în x=0, este adevărat că:

\int _I \phi (x') \delta(x') dx' = \phi(0).\,

Aceasta poate servi ca o definiție posibilă a lui δ(x). Se pot defini și derivatele δ'(x),...δ(n) funcției δ(x) prin acțiunea lor asupra funcțiilor φ(x) cu un număr suficient de derivate în x=0, de exemplu:

\int_{I} \phi(x) \delta '(x) dx = -\phi ' (0)\,

(integrare formală prin părți).

Funcția δ(x-x0) are aceleași proprietăți ca și δ(x), referitoare însă la punctul x0. Pentru orice funcție φ(x), continuă pe axa reală, are loc relația:

\int_{-\infty }^{\infty }\phi (x') \delta (x-x') dx' = \phi (x)\,

Simbolul δ(ψ(x)) pentru o funcție diferențiabilă ψ(x), care se anulează în x0 și este monotonă se definește formal prin schimbarea de variabilă u=ψ(x):

\int_{-\infty }^{\infty }\phi (x') \delta (\psi (x')) dx' =\int_{-\infty }^{\infty }\frac {\phi (\psi ^{-1}(u))}{\vert \psi '(\psi ^{-1}(u) \vert} \delta (u) dx' = \frac {\phi (x_0)}{\vert \psi '(x_0) \vert} \,

unde φ(x) este presupusă continuă în x0. Dacă ψ(x) se anulează de mai multe ori, atunci trebuie împărțit corespunzător intervalul de integrare și rezultatul este o sumă după zerourile lui ψ(x). Ca un caz particular simplu vedem că acțiunea lui δ(-x) asupra oricărei φ(x) continuă în x=0 este aceeași cu a lui δ(x). Deci, δ(x) este o „funcție” pară:

\delta (x) = \delta(-x)\,

Transformata Fourier[modificare | modificare sursă]

Transformata Fourier a funcției δ(x-x0) este exp(ikx0):

\int_{-\infty }^{\infty } \exp(ikx) \delta(x-x_0) dx = \exp (ikx_0)\,

Inversând (formal) transformarea Fourier, obținem relația importantă:

\frac {1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty } \exp (ikx_0) \exp (-ikx) dk = \delta (x_0-x)\,

Definiție ca limită a unui șir de funcții[modificare | modificare sursă]

Funcția δ(x) poate fi privită ca limita (în sensul acțiunii asupra unor funcții suficient de netede în x=0) a unui șir de funcții care cresc indefinit în x=0, devenind în același timp din ce în ce „mai înguste”: un exemplu util este:

  \lim _{\lambda \rightarrow \infty } \frac {sin \lambda x}{x} = \pi \delta(x)\,

Tratatul standard de teoria distribuțiilor este acela al lui I.M. Gelfand și G.E. Șilov . O introducere rapidă este în capitolul II al cărții lui V.S. Vladimirov. O introducere originală, foarte ușor de citit și în același timp riguroasă este cartea lui M.J. Lighthill.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • I.M. Gelfand, G.E. Șilov: Funcții generalizate, Editura științifică și enciclopedică, București 1990.
  • V.S. Vladimirov, Ecuațiile fizicii matematice, Editura științifică și enciclopedică, București 1980.
  • M.J. Lighthill, Introduction to Fourier analysis and generalized functions, Cambridge University Press 1958.