Funcţie continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
 Acest articol sau această secţiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteţi ajuta găsind susţinere bibliografică pentru conţinutul paginii.

În analiza matematică, o funcţie se numeşte continuă într-un punct dacă o variaţie mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variaţie mică a valorii funcţiei şi, mai mult, putem limita oricât de mult variaţia valorii funcţiei prin limitarea variaţiei argumentului. O funcţie care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiţie se numeşte simplu funcţie continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcţie este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcţiei, sau dacă graficul funcţiei oscilează,se zice că funcţia este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuităţi.

[modifică] Definiţia formală

[modifică] Definiţia într-un spaţiu metric

Dacă f:X\to Y, unde X şi Y sunt submulţimi ale unor spaţii metrice (de exemplu, X=Y=\mathbb{R}), funcţia f se numeşte continuă în punctul x_0\in X dacă pentru orice valoare \varepsilon\in(0,\infty) există un \delta_\varepsilon\in(0,\infty) astfel încât \forall x\in X\{x_0\}\,,\ d_X(x,x_0)<\delta_\varepsilon, să aibă loc d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon, unde dX reprezintă distanţa din spaţiul metric X, iar dY reprezintă distanţa din spaţiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare x0 dacă \lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există şi este egală cu valoarea funcţiei în acel punct).

Nu putem vorbi de continuitatea unei funcţii într-un punct în care funcţia nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiţie ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiţie (adică un punct izolat), orice funcţie este continuă.

O funcţie se numeşte discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcţia nu este continuă se numeşte discontinuitate a funcţiei.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcţia are un "salt" (limita funcţiei, sau cel puţin limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcţiei) - o astfel de discontinuitate se numeşte de primă speţă, fie pentru că funcţia nu are limită în acel punct -- disconiuitate de speţa a doua.

Exemple:

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x\leq 0\\1 &, & x>0\end{array}\right.

este continuă în toate punctele cu excepţia lui 0 unde are o discontinuitate de prima speţă.

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x=0\\\sin\frac{1}{x} &, & x\neq0\end{array}\right.

este continuă în toate punctele cu excepţia lui 0 unde are o discontinuitate de speţa a doua. De notat că această funcţie este un exemplu de funcţie Darboux care nu este continuă.

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C5%A3ie_continu%C4%83
Unelte personale