Analiză dimensională

Analiza dimensională este un instrument de principiu folosit în fizică, chimie și tehnică la înțelegerea situațiilor care implică utilizarea combinată a mai multor mărimi fizice. Este un instrument uzual al oamenilor de știință și inginerilor pentru a verifica plauzibilitatea diferitelor tipuri de unități de măsură derivate, a consistenței ecuațiilor și a metodelor de calcul. Este folosită de asemenea pentru a face ipoteze pertinente asupra fenomenelor fizice care să fie verificate experimental sau prin teorii mai evoluate.

Metoda de lucru algebric cu dimensiuni

• verificarea corectitudinii scrierii relațiilor fizice;
• obține rezultate noi din considerente pur dimensionale;

Principiul omogenității

Orice relație fizicǎ (între mǎrimi) trebuie sǎ treacǎ într-o relație matematicǎ între numere. Pentru acestea termenii unei relații trebuie sǎ fie omogeni = sǎ aibǎ aceaṣi dimensiune = echidimensionali

Teorema invariației

Pentru ca o relație fizicǎ sǎ fie invariantǎ la schimbarea u.m. este necesar ca marimile derivate sǎ se exprime în funcție de mǎrimile fundamentale ca un produs de puteri.

Exemplu

Fie $\scriptstyle \ f(m,v,E_c)=0$, o relație funcțională pentru energia cinetică a punctului material, unde: $\scriptstyle m$-masa, $\scriptstyle v$-viteza și $\scriptstyle E_c$- energia cineticǎ.

Mărimi fundamentale pentru $\scriptstyle E_c$: $\scriptstyle m$, $\scriptstyle \ v$

Mărimea derivată: $\scriptstyle E_c$.

$E_c=m^{r_1} v^{r_2}; [E_c]= ML^2T^{-2}; [m]=M ; [v]=MT^{-1}$

$ML^2T^{-2}={(M)}^{r_1}{(LT^{-1})}^{r_2}$

$r_1=1 ; r_2=2 \!$

$\Rightarrow Ec=ct m v^2 \!$

Teorema Produselor

$f(x_1 ,........., x_i , y_{k+1},.......y_{k+j}.....y_n)=0 \!$

$f(\prod_{i=1}^N .......... \prod_{i=N-k}^N)= 0 \!$

$Unde \prod_{i=N-k}^N \!$ - complexe admin.; k-rangul matricii dimensionale

$x_1..........x_i........x_k.........x_n \!$

$[x_i]=L^{\alpha i}M^{\beta i}... \!$

$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ... & \cdots & ..\end{bmatrix} \!$

$\begin{matrix} \prod_a \end{matrix}= \frac{a}{\prod fundamentale}$

Exemplu (Similitudine)

Acceleraṭia cǎderii libere a unui corp la suprafaṭa unui astru sferic omogen de razǎ R și masǎ m depinde de: m, R, k unde k este constanta atracției universale. Dacǎ pentru un astru cu raza R ṣi masa m corpurile cad liber cu accelerația g=10 m/s la pǎtrat, cu ce accelerație vor cǎdea corpurile la suprafața unui astru cu raza R'=R/2 și de masǎ m'=m/10? (Planeta Marte).

• Rezolvare:

$g= f(m,R,K) \!$

$[g]=LT^{-2}; [m]=M; [k]=L^3T^{-2}M^{-1} \!$

$f(m,R,K,g)=0 \rightharpoondown n=4 \!$

$rang=3; k=3 ; n-k=1 \!$

$\begin{matrix} \prod_g \end{matrix}= \frac{g}{m^{r_1}R^{r_2}k^{r_3}}$

$r_2+3r_3=1 ; r_1-r_3=0; -2r_3=-2 \!$

$r_3=1;r_1=1;r_2=-2 \!$

$\begin{matrix} \prod_g \end{matrix}= \frac{gR^2}{mk}$

$\begin{matrix} \prod_g' \end{matrix}= \frac{g'R'^2}{m'k'}$

• Din Teorema lui Newton:

$\begin{matrix} \prod_g' \end{matrix} = \begin{matrix} \prod_g \end{matrix}$

$\frac{gR^2}{mk}=\frac{g'R'^2}{m'k'} \!$

$\frac{gR^2}{mk}=\frac{g'R'^2}{m'k'} \!$

$\frac{gR^2}{mk}=\frac{g \frac {R^2}{4}}{\frac {m}{10} k} \!$

$\Rightarrow g'=4 \frac{m}{s^2} \!$

Bibliografie

• Curs de fizică I UTCB - Construcții Civile