Analiză dimensională

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Analiza dimensională este un instrument de principiu folosit în fizică, chimie și tehnică la înțelegerea situațiilor care implică utilizarea combinată a mai multor mărimi fizice. Este un instrument uzual al oamenilor de știință și inginerilor pentru a verifica plauzibilitatea diferitelor tipuri de unități de măsură derivate, a consistenței ecuațiilor și a metodelor de calcul. Este folosită de asemenea pentru a face ipoteze pertinente asupra fenomenelor fizice care să fie verificate experimental sau prin teorii mai evoluate.

Metoda de lucru algebric cu dimensiuni[modificare | modificare sursă]

  • verificarea corectitudinii scrierii relațiilor fizice;
  • obține rezultate noi din considerente pur dimensionale;

Principiul omogenității[modificare | modificare sursă]

Orice relație fizicǎ (între mǎrimi) trebuie sǎ treacǎ într-o relație matematicǎ între numere. Pentru acestea termenii unei relații trebuie sǎ fie omogeni = sǎ aibǎ aceaṣi dimensiune = echidimensionali

Teorema invariației[modificare | modificare sursă]

Pentru ca o relație fizicǎ sǎ fie invariantǎ la schimbarea u.m. este necesar ca marimile derivate sǎ se exprime în funcție de mǎrimile fundamentale ca un produs de puteri.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Fie  \scriptstyle \ f(m,v,E_c)=0 , o relație funcțională pentru energia cinetică a punctului material, unde:  \scriptstyle  m -masa,  \scriptstyle  v -viteza și  \scriptstyle E_c- energia cineticǎ.

Mărimi fundamentale pentru  \scriptstyle E_c :  \scriptstyle  m ,  \scriptstyle \ v

Mărimea derivată:  \scriptstyle E_c .

E_c=m^{r_1} v^{r_2};

[E_c]= ML^2T^{-2};
[m]=M ; [v]=MT^{-1}


 ML^2T^{-2}={(M)}^{r_1}{(LT^{-1})}^{r_2}

r_1=1 ; r_2=2 \!

\Rightarrow Ec=ct m v^2 \!

Teorema Produselor[modificare | modificare sursă]

 f(x_1 ,........., x_i , y_{k+1},.......y_{k+j}.....y_n)=0 \!

 f(\prod_{i=1}^N .......... \prod_{i=N-k}^N)= 0 \!

Unde \prod_{i=N-k}^N \! - complexe admin.; k-rangul matricii dimensionale


x_1..........x_i........x_k.........x_n \!


[x_i]=L^{\alpha i}M^{\beta i}... \!


 \begin{bmatrix} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \vdots &

\ddots & \vdots \\ ... & \cdots & ..\end{bmatrix} \!


\begin{matrix} \prod_a \end{matrix}= \frac{a}{\prod fundamentale}


Exemplu (Similitudine)[modificare | modificare sursă]

Acceleraṭia cǎderii libere a unui corp la suprafaṭa unui astru sferic omogen de razǎ R și masǎ m depinde de: m, R, k unde k este constanta atracției universale. Dacǎ pentru un astru cu raza R ṣi masa m corpurile cad liber cu accelerația g=10 m/s la pǎtrat, cu ce accelerație vor cǎdea corpurile la suprafața unui astru cu raza R'=R/2 și de masǎ m'=m/10? (Planeta Marte).

  • Rezolvare:

 g= f(m,R,K) \!

[g]=LT^{-2}; [m]=M; [k]=L^3T^{-2}M^{-1} \!

f(m,R,K,g)=0 \rightharpoondown n=4 \!

 rang=3; k=3 ; n-k=1 \!

\begin{matrix} \prod_g \end{matrix}= \frac{g}{m^{r_1}R^{r_2}k^{r_3}}

 r_2+3r_3=1 ; r_1-r_3=0; -2r_3=-2 \!

 r_3=1;r_1=1;r_2=-2 \!

\begin{matrix} \prod_g \end{matrix}= \frac{gR^2}{mk}

\begin{matrix} \prod_g' \end{matrix}= \frac{g'R'^2}{m'k'}

  • Din Teorema lui Newton:

\begin{matrix} \prod_g' \end{matrix} = \begin{matrix} \prod_g \end{matrix}

\frac{gR^2}{mk}=\frac{g'R'^2}{m'k'} \!


\frac{gR^2}{mk}=\frac{g'R'^2}{m'k'} \!

\frac{gR^2}{mk}=\frac{g \frac {R^2}{4}}{\frac {m}{10} k} \!

\Rightarrow g'=4 \frac{m}{s^2} \!


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Curs de fizică I UTCB - Construcții Civile