4-politop: Diferență între versiuni

Conținut șters Conținut adăugat

Aliniat

Versiunea de la 15 martie 2021 14:09

Grafurile celor șase 4-politopuri regulate convexe
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5-celule Pentatop 4-simplex	16-celule Ortoplex 4-ortoplex	8-celule Teseract 4-cub
{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Octaplex 24-celule	Dodecaplex 120-celule	Tetraplex 600-celule

În geometrie, un 4-politop este un politop 4-dimensional.^[1]^[2] Este o figură conexă și închisă, compusă din elemente geometrice din dimensiuni inferioare: vârfuri, laturi, fețe (poligoane) și celule (poliedre). Fiecare față aparține la exact două celule.

Analogul bidimensional al unui 4-politop este un poligon, iar analogul tridimensional este un poliedru.

Topologic, 4-politopurile sunt strâns legate de fagurii uniformi, cum ar fi fagurele cubic, care teselează spațiul tridimensional; în mod similar cubul din 3D este legat de pavarea pătrată infinită din 2D. 4-politopurile convexe pot fi „tăiate și desfășurate” ca desfășurata corpurilor tridimensionale.

Definiție

Un 4-politop este o figură închisă din spațiul cu patru dimensiuni. Elementele sale sunt vârfuririle (punctele din colțuri), laturile, fețele și celulele. O celulă este analogul tridimensional al unei fețe, prin urmare este un poliedru. Fiecare față trebuie să unească exact două celule, analog modului în care fiecare muchie a unui poliedru unește doar două fețe. Ca orice politop, elementele unui 4-politop nu pot fi împărțite în două sau mai multe seturi care sunt, de asemenea, 4-politopuri, adică nu este un compus.

Cel mai familiar 4-politop este teseractul, analogul 4D al cubului.

Vizualizare

Exemple de prezentare a 24-celule
Secțiune		Desfășurată

Proiecții
Schlegel	2D ortogonal	3D ortogonal

4-politopurile nu pot fi văzute în spațiul tridimensional datorită dimensiunii lor suplimentare. Sunt folosite mai multe tehnici pentru a le vizualiza.

Proiecții ortogonale

Proiecțiile ortogonale pot fi folosite pentru a arăta diferite orientări ale simetriilor unui 4-politop. Acestea pot fi proiectate în 2D ca grafuri ale vârfurilor și laturilor și pot fi reperzentate în 3D cu celulele vizibile ale anvelopei convexe.

Proiecții în perspectivă

Așa cum o formă 3D poate fi proiectată în 2D pe o foaie plană, tot așa o formă 4D poate fi proiectată în 3D sau chiar în 2D pe o foaie plană. O proiecție obișnuită este diagrama Schlegel, care folosește proiecția stereografică a punctelor de pe suprafața unei sfere în 3D, conectate prin laturi drepte, fețe și celule trasate în spațiul tridimensional.

Secționări

La fel cum o secțiune printr-un poliedru prezintă suprafața din dreptul secțiunii, tot așa o secțiune printr-un 4-politop prezintă o „hipersuprafață” în trei dimensiuni. O secvență de astfel de secțiuni poate fi utilizată pentru a înțelege forma generală. Dimensiunea suplimentară poate fi echivalată cu timpul pentru a produce o animație lină a acestor secțiuni transversale.

Desfășurate

Desfășurata unui 4-politop este compusă din celulele poliedrice care sunt conectate prin fețele lor și toate ocupă același spațiu tridimensional, la fel cum fețele poligonale ale unei desfășurate 2D a unui poliedru sunt conectate prin muchiile lor și toate se află în același plan.

Caracteristici topologice

Topologia oricărui 4-politop dat este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.^[3]

În dimensiuni superioare caracteristica Euler, utilizată pentru caracterizarea poliedrelor, este zero pentru toate 4-politopurile, indiferent de topologia lor de bază, ca urmare este puțin utilă. Această nefuncționalitate a caracteristicii lui Euler de a distinge între diferite topologii din dimensiuni superioare a dus la descoperirea numerelor Betti, mai sofisticate.^[3]

Similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirile suprafețelor 4-politopurilor toroidale, fapt care a condus la utilizarea coeficienților de torsiune.^[3]

Note

^ en Vialar, T. (2009). Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
^ en Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. p. 598. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1.
^ ^a ^b ^c en Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

Bibliografie

en H.S.M. Coxeter:
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
en J.H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
en N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
de Marco Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope, 2004 PhD dissertation (Polytope im IR⁴ (= Polychora))

Legături externe

Materiale media legate de 4-politop la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Polychoron la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Polyhedral formula la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Regular polychoron Euler characteristics la MathWorld.
en George Olshevsky, Four dimensional figures page
en George Olshevsky. „Polychoron”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la 4 februarie 2007.

en Uniform Polychora, Jonathan Bowers
en Uniform polychoron Viewer - Java3D Applet with sources
en Dr. R. Klitzing, polychora

[1] Vialar, T. (2009). Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2.

[2] Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. p. 598. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1.

[richeson-3] Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

[1]

[2]

[3]